# 0015
El pasaje traducido hasta ahora es este, y nuestro
comentario ha cubierto la parte marcada con un fondo amarillo:
§ 10
El que hayamos afirmado que la combinación de signos ‘ἐФ(ε)
= ἀΨ(α)’ tenga el mismo significado que ‘-a-Ф(a) = Ψ(a)’, sin embargo, de ninguna manera fija aún del
todo el significado de un nombre como ‘(ἐФ(ε)’. Sólo se nos da un medio para
reconocer en todo caso un rango de valor si se le designa por un nombre como ‘(ἐФ(ε)’
que permite reconocerlo ya como rango de valor. Pero no podemos decidir, hasta
ahora, si un objeto que nos es dado como tal es un rango de valor ni a cuál
función pertenece, ni tampoco podemos decidir de manera general si un rango de
valor dado tiene una propiedad dada si no sabemos que esta propiedad esté
asociada con una propiedad de la función pertinente. Supongamos que
Χ(ξ)
es una función que jamás adquiere el mismo valor para
diferentes argumentos, entonces vale justamente la misma marca de
reconocimiento para los objetos cuyos nombres son de la forma ‘Χ(ἐФ(ε))’ que
para los objetos cuyos signos tienen la forma ‘ἐФ(ε))’. Ya que entonces también
‘Χ(ἐФ(ε) = ΧἀΨ(α))’ tiene el mismo significado que ‘(-a-Ф(a) = Ψ(a)’ [nota de
pie de Frege: Esto no quiere decir que el sentido sea el mismo]. “De esto se
desprende que al declarar que el significado de ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ sea igual al de
‘(-a-Ф(a) = Ψ(a)’, el significado de un nombre como
‘ἐФ(ε)’ de ninguna manera está determinado del todo, al menos, si existe una función Χ(ξ) cuyo
valor para un rango de valor como argumento no siempre es igual a este mismo.
¿Cómo, entonces, se elimina esta indeterminación? Al determinar para cada
función en su introducción cuál valor obtiene para rangos de valor como
argumentos, al igual que para todos los demás argumentos. ¡Hagamos esto para
las funciones consideradas hasta ahora! Éstas son las siguientes:
ξ = ζ, __ξ, ┬ξ.
La última puede
quedar fuera de consideración, puesto que siempre se puede considerar un valor
de verdad como argumento de ella. No hace ninguna diferencia en su caso si se
toma como argumento un objeto o el valor que la función __ξ tiene para este
objeto como argumento. Ahora podemos reducir todavía la función __ξ a la
función ξ = ζ. De acuerdo a nuestra estipulación, la función ξ = (ξ = ξ) tiene
para todo argumento el mismo valor que la función __ξ, ya que el valor de la
función ξ = ξ es lo verdadero para todo argumento. De esto sigue que el valor
de la función ξ = (ξ = ξ) es lo verdadero únicamente para lo verdadero como
argumento, y que es lo falso para todos los demás argumentos, justo como en el
caso de la función __ξ. Una vez que se redujo así todo a la reflexión sobre la
función ξ = ζ, preguntamos qué valores ésta tiene si se presenta como argumento
un rango de valor. Puesto que hasta aquí hemos introducido únicamente los
valores de verdad y los rangos de valor como objetos, sólo puede tratarse de si
uno de los valores de verdad acaso es un rango de valor. Si esto no es el caso,
entonces se queda decidido también que el valor de la función ξ = ζ es siempre
lo falso si se toma como uno de sus argumentos un valor de verdad y como el
otro argumento un rango de valor. Pero si, por otra parte, lo verdadero es al
mismo tiempo el rango de valor de la función Ф(ξ), entonces esto decide también
cuál es el valor de la función ξ = ζ en todos los casos en que se toma como uno
de sus argumentos lo verdadero, y el asunto es similar si lo falso es al mismo
tiempo el rango de valor de cierta función. Pero es imposible decidir la
pregunta si uno de los valores de verdad es un rango de valor, de que ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’
debería tener el mismo significado que ‘(-a-Ф(a) = Ψ(a)’. Es posible determinar de manera universal que ‘ῆФ(η) = ᾶΨ(α)’ sin que se
pueda deducir de ello la igualdad de ἐФ(ε)
y de ῆФ(η). Tuviéramos entonces, por ejemplo, una clase de objetos que tuvieran
los nombres de la forma ‘ῆФ(η)’ y para cuya distinción y cuyo reconocimiento
valdría la misma marca que para los rangos de valor.”
Haremos ahora un breve comentario acerca de “si existe una función Χ(ξ) cuyo valor para
un rango de valor como argumento no siempre es igual a este mismo”. Frege normalmente
hace tácitamente una suposición que Wittgenstein hace explícita en el Tractatus 2.012: “En la lógica nada es
dejado al azar.” Si en la lógica algo se puede
dar, entonces tiene que haber una necesidad lógica que regula esta posibilidad,
idea que parece hacer superflua la lógica modal como disciplina independiente.
Si Χ(ξ) puede ser el nombre de una función con las características sugeridas
por Frege, entonces la conceptografía
tiene que regular lógicamente esta
posibilidad. ‘Χ(ἐФ(ε)’ no necesariamente tiene que tener como rango de valor ‘ἐФ(ε)’ (aunque sí, ‘ἐΧ(ε)’), pero entonces ‘Χ(ἐФ(ε)’
y ‘ἐФ(ε)’ tendrán un valor diferente, a pesar de que fueron introducidos
justamente de la misma manera en la conceptografía, a saber, mediante la
identidad de la igualdad universal entre funciones y la igualdad de los rangos de
valor correspondientes. Suficiente para probar que la identidad referida deja indeterminado el significado de una
expresión como ‘ἐФ(ε)’, aseveración de la cual Frege parte en el parágrafo 10.
Demos entonces como establecido que esta indeterminación existe. ¿Entonces, no
todo está lógicamente determinado en la lógica, sino hay al menos una relación
que podemos estipular arbitrariamente, a saber, la relación entre rangos de
valor y valores de verdad?
Frege dice, según hemos visto: “¿Cómo, entonces, se elimina esta indeterminación? Al determinar para
cada función en su introducción cuál valor obtiene para rangos de valor como
argumentos, al igual que para todos los demás argumentos.”
A continuación Frege procede a sugerir tal estipulación,
pero vuelve después a la cuestión si tal situación no podría causar una
contradicción.
La próxima vez
trataremos de atender posibles dudas acerca de la estipulación misma y luego
nos ocuparemos de la justificación que Frege da de ella.
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