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Para mi buena suerte, Frege resume él mismo su
investigación de la naturaleza de los números cardinales en Grundlagen, por lo que me limitaré a parafrasear
la parte en cuestión como lista de enunciados e insertar alguna información
complementaria si esto parece ayudar.
1. El número no
es un montón de cosas, ni tampoco ninguna propiedad de tal montón.
2. El número tampoco
es el producto subjetivo de procesos psicológicos.
3. La
indicación de un número enuncia algo objetivo acerca de un concepto.
4. Resultó que
no se puede demostrar la igualdad de números sin definición de 0 y 1 con base
en la definición de Leibniz [2 es 1 más 1; 3 es 2 más 1; 4 es 3 más 1).
5. Para
reconocer a números como iguales no se deben tomar como el predicado (e.g., el
cielo es azul) sino como el sustantivo
[el azul del cielo] de una oración, pero
no como objetos físicos ni espaciales y ni siquiera como posibles objetos de la
imaginación.
6. “Nosotros establecimos ahora el principio de
que el significado de una palabra no se ha de explicar en aislamiento, sino en
el contexto de una oración; sólo la adherencia a este principio permite evadir
la concepción fisicalista del número sin caer en la concepción psicológica.”
7. Hay un tipo
de oraciones que tiene que tener sentido para todo objeto: las oraciones de reconocimiento. En el caso de los
números, estas oraciones se llaman ecuaciones.
Esto es: el nombre
del objeto tiene su significado porque
es parte de una oración de reconocimiento, pero porque la palabra es nombre de un objeto, la oración tiene que tener sentido. Es importante
tener en cuenta aquí que Frege aún no distinguía entre sentido y significado
cuando redactaba este resumen del argumento de Grundlagen. Por esto, el enunciado 6 da lugar a muchas posibles
interpretaciones.
8. Para
entender el sentido de una indicación de número, ésta tiene que entenderse como
ecuación.
9. Se tiene que
determinar, entonces, el sentido de una ecuación de números sin hacer uso de
numerales ni de la palabra “número”.
10. “La posibilidad de asociar en ambas partes
unívocamente los objetos que caen bajo un concepto F con los objetos que caen
bajo un concepto G, la reconocimos como el contenido de un juicio de
reconocimiento de números.”
11. “Nuestra definición tenía que explicar esta
posibilidad [10.] como sinónima con
una ecuación de números.”
12. Para cumplir
el requisito de que se pueda sustituir un lado de la ecuación con el otro conservando
el valor de verdad, y para garantizar al mismo tiempo que la oración de
reconocimiento tenga un sentido, se propuso como definición: “el número cardinal que pertenece al
concepto F es la extensión del concepto ‘concepto equinúmero del concepto F’,
designando un concepto F equinúmero con un concepto G si existe la posibilidad
mencionada de la asociación unívoca en ambos lados.”
Es decir, un número
cardinal se toma como la extensión de un concepto si existe la relación de
equinumeralidad con otro concepto, i.e. si los objetos que caen bajo uno y otro
concepto pueden asociarse unívocamente en ambas direcciones. Para ilustrarlo,
Frege usa el ejemplo de un mesero que pone cubiertos para cada plato en un
restaurante. El mesero no tiene que contar los cubiertos (no requiere ningún número),
sino basta con que para cada cuchillo haya un tenedor para saber que hay el
mismo número de cuchillos y de tenedores. Lo que tienen de igual en todos los
casos, sin tomar en cuenta propiedades particulares, es su número.
13. La
asociación unívoca en ambos lados, Frege la explica a partir de relaciones
puramente lógicas.
14. Frege define
a continuación el número cardinal 0 y la expresión ‘n sigue en la secuencia de
números naturales directamente a m’, así como el número 1, mostrando que 1
sigue directamente a 0 en la secuencia de los números naturales.
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