Wittgenstein&ianism

# 0018

A primera vista suena misterioso lo que Frege dice a continuación de los pasajes que hasta ahora consideramos en el parágrafo 10 de GGAI

“Es posible determinar de manera universal que ‘ῆФ(η) = ᾶΨ(α)’ sin que se pueda deducir  de ello la igualdad de ἐФ(ε) y de ῆФ(η)”

puesto que Frege no introdujo en ningún lado un signo como ‘ῆФ(η)’. Pero podemos tratar de adivinar, de lo que dijo unas cuantas líneas arriba, que estos signos simbolizan lo que nombres para objetos como ‘Χ(ἐФ(ε))’ y ‘ἐФ(ε))’ tienen en común. Este enunciado entonces sólo es otra manera de decir que nuestro axioma (la ley fundamental V) no podrá determinar la naturaleza de los objetos que se identifican al lado opuesto de la igualdad universal. El significado de una expresión como ‘ῆФ(η)’ no está determinado, y no se determina apelando a que es igual a ᾶΨ(α). El signo de identidad dice que son dos nombres de un mismo objeto, y el resto de la fórmula dice, si es verdadera [como lo afirmará la barra del juico en la ley fundamental V; y el hecho de que se trata de un axioma, ya que para Frege un axioma no es axioma si no es verdadero, ni si su verdad se puede demostrar; pero lo que en un sistema de símbolos puede ser axioma, en otro puede ser demostrable, por lo que los axiomas son axiomas siempre respecto a un sistemas de símbolos] que esto es verdad, puesto que también -^a-Ф(a) = Ψ(a) es verdad. Para la determinación de ‘ἐФ(ε)’, esta igualdad universal no llega más lejos que la de ‘ῆФ(η)’ de la que no tenemos idea que clase de objeto designa.

No había misterio, realmente. “Tuviéramos entonces, por ejemplo, una clase de objetos que tuvieran los nombres de la forma ‘ῆФ(η)’ y para cuya distinción y cuyo reconocimiento valdría la misma marca que para los rangos de valor” dice Frege a continuación, lo que parece confirmar lo que acabamos de decir.

Hasta aquí llega nuestra traducción y reproduzco a continuación en español el siguiente pasaje de GGAI § 10:

“Nosotros podríamos ahora determinar la función Χ(ξ) de la manera que dijéramos que su valor debería ser lo verdadero para ῆΛ(η) como argumento y que su valor debería ser ῆΛ(η) para lo verdadero como argumento; el valor de la función Χ(ξ) debería ser además lo falso para el argumento ῆΜ(η) y debería ser ῆΜ(η) para lo falso como argumento; para cualquier otro argumento, el valor de la función Ф(ξ) debería coincidir con éste mismo [con el argumento]. Ahora, bien, si las funciones Λ(ξ) y Μ(ξ) no tienen siempre el mismo valor para el mismo argumento, entonces nuestra función Χ(ξ) nunca tiene el mismo valor para diferentes argumentos y, por consiguiente, también Χ(ῆФ(η)) = Χ(ᾶΨ(α)) siempre tendrá el mismo significado que ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’. Los objetos cuyos nombres tuvieran la forma ‘Χ(ῆФ(η))’ se reconocieran entonces con el mismo medio como los rangos de valor, y Χ(ῆΛ(η)) sería lo verdadero, y Χ(ῆΜ(η)) lo falso. Es decir, sin causar ninguna contradicción con nuestra identidad de  ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ con ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’ es siempre posible determinar que un rango de valor arbitrario debería ser lo verdadero y un rango de valor arbitrario diferente, lo falso. ¡Determinemos entonces que ἐ(__ε) debería ser lo verdadero y que ἐ(ε = (┬-^a-a = a)) lo falso! ἐ(__ε) es el rango de valor de la función __ξ cuyo valor es lo verdadero, si el argumento es lo verdadero y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor y este es, de conformidad con nuestra estipulación, lo verdadero. Por consiguiente, __ἐФ(ε) es lo verdadero únicamente si la función Ф(ξ) es un concepto, bajo el cual cae únicamente lo verdadero; en todos los demás casos __ ἐФ(ε) es lo falso. Además, ἐ(ε = (┬-^a-a = a)) es el rango de valor de la función ξ = (┬-^a-a = a) cuyo valor es lo verdadero únicamente si el argumento es lo falso, y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor, y este es, de acuerdo a nuestra estipulación, lo falso. Todo concepto, entonces bajo el cual cae lo falso y solo éste tiene como extensión de concepto, lo falso.”

[Aquí viene un nota de pie larga de Frege que nos guardaremos para después de discutir el pasaje que acabo de reproducir en español]

Espero encontrar algún día una mejor manera de representar aquí el signo de negación, y eventualmente el de universalidad.