# 0022

Hasta donde sé, Frege y Russell jamás se vieron, pero hay un intercambio de ideas por carta a ratos bastante intenso que desafortunadamente no se conserva en su totalidad, aunque lo que existe sigue siendo notable. Casi todos los originales del legado de Frege se convirtieron en cenizas en 1945 en el esfuerzo de los americanos de aprovechar los últimos meses de la guerra para regresar a Alemania al paleolítico en el marco del fabuloso “plan Morgenthau” – qué ironía que fue Churchill quien salvó a los alemanes de que se continuara con el plan después de la rendición incondicional de Alemania, habiendo aprobado poco antes perfectamente a propósito la aniquilación de los tesoros barocos y de la población civil en Dresde. No que los nazis no se hubieran ganado este tratamiento de un pueblo que optó mayoritariamente por seguirles a una aventura expansionista inspirado en el excepcionalismo (racista y cultural) alemán; excepcionalismo que al menos en su aspecto cultural los alemanes lo heredaron luego a los vencedores junto con la tecnología de la propulsión a chorro, de cohetes y todo el demás Know-How bélico.

Las cartas que Russell dirigió a Frege y viceversa tratan casi exclusivamente de cuestiones de lógica y jamás exploran los supuestos tácitos de ninguno de ellos. Esto facilitaba que Russell malentendiera totalmente algunos aspectos importantes de los supuestos lógicos de Frege. Me parece, por ejemplo, que Russell supuso que Frege compartía con él no sólo su anti-psicologismo, sino también su anti-kantismo. Pero esto muy claramente no es el caso, aunque la influencia de Kant en el pensamiento de Frege no se señaló con mucha claridad hasta 1980, año en que Hans Sluga publicó su libro Gottlob Frege, que fue atacado inmediatamente con bastante furia sobre todo por Michael Dummett; pero en realidad, todo lo que se argumenta contra Sluga es que no demuestra sus afirmaciones. Me parece que se necesita mucha suerte para demostrar la influencia de ideas antecedentes en el pensamiento de un filósofos; y mientras los relatos de Dummett, Kripke, Baker & Hacker etc. principalmente demuestran las incongruencias en la teoría de Frege a la luz de las perfecciones de la filosofía analítica que navega a la sombra de él, el cuadro que Sluga combina los aspectos de su construcción de sistema y los motivos filosóficos que la sostienen como un puzzle de un paisaje al oleo. A la luz de esto, que la explicación de Sluga no sea servible, pienso, es algo que tendrían que demostrar sus críticos.

Que Russell se equivoca en algunos de sus supuestos, a mi manera de ver, lo demuestra muy claramente la traducción al inglés que él propone para algunas expresiones claves de Frege: ‘Sinn’ lo interpreta como significado (meaning) y ‘Bedeutung’ como referente (‘indication’, pero se impuso posteriormente ‘reference’ o, como Kripke prefiere, ‘referent’). Hay bastantes pasajes en los escritos de Frege que parecen apoyar esta lectura, pero esto, me parece, sólo a la luz de una interpretación que no permite que “sea de otra manera”. En realidad, creo, “la otra manera” es la que es la verdadera en el caso de Frege.

La “ontología” de Frege, si hay tal cosa, se divide on dos grandes dominios: el de los objetos, y el de las funciones. Funciones son entes objetivos que no se sostienen solos: necesitan un complemento para formar un objeto. Objetos, en cambio, son todas las cosas objetivas que no son funciones.

Para el joven Wittgenstein las oraciones representan hechos, pero son ellas mismas, hechos. ¿Cómo está este asunto para Frege?

Si el mundo se divide en objetos y funciones ¿dónde quedan las oraciones? ¿Qué es un sentido? ¿Un objeto o una función?

Mucho me temos que la claridad simple del parágrafo 10 de GGAI que anunciaba al iniciar esta serie de comentarios se nos escurrirá, mientras no aclaremos cuestiones como estas. Tendremos que tomar entonces una desviación más, y sospecho que tendrá que ser más extensa de lo que me imaginaba en un principio.

# 0021

Frege comenta en el preámbulo de Grundgesetze, después de aclarar que este libro es la puesta en práctica de lo concebido en Conceptografía y anunciado en Fundamentos de la aritmética, que él se había visto obligado a abandonar un borrador del libro ya casi terminado a causa de algunos “cambios internos” que sufrió la Conceptografía de 1879. A continuación enumera estos cambios.

Primeramente reemplazó el signo ‘≡’ por el de ‘=’ puesto que se convenció de que éste significa en la aritmética justamente lo que él quiere designar: “Es que yo uso la palabra ‘igual’ con el mismo significado que ‘coincidente con’ o ‘idéntico con’, y es así como el signo de igualdad se usa en realidad en la aritmética.”

Después de explicar por qué las objeciones contra esta percepción del uso en la aritmética se basan en la confusión entre signo y designado, se refiere a la introducción de los rangos de valor en la conceptografía como adición a los signos del simbolismo original. La introducción del signo para rangos de valor no únicamente permite una mayor movilidad para simplificar expresiones derivadas con más brevedad, sino que “tienen una gran importancia fundamental, puesto que defino el número cardinal mismo como la extensión de un concepto, y extensiones de concepto son rangos de valor, de acuerdo a mis estipulaciones. No se podría proceder sin ellos.”

Otro cambio importante que Frege menciona en este pasaje es la interpretación de la barra horizontal que en Conceptografía había llamado la ‘barra de contenido juzgable’ pero que ahora simplemente llama ‘la horizontal’; Frege explica esto así:

“Estos [cambios] son las consecuencias de un desarrollo que intervino en mis puntos de vista de la lógica. Yo antes había distinguido dos cosas en lo que, en su forma exterior, es una oración afirmativa: 1) el reconocimiento de la verdad, 2) el contenido que es reconocido como verdadero. El contenido, yo lo llamaba, contenido juzgable. Éste se me descompuso ahora en lo que llamo el pensamiento, y aquello que llamo el valor de verdad. Esta es la consecuencia de la distinción del sentido y del significado de un signo. En este caso, el sentido de la oración es el pensamiento, y su significado es su valor de verdad. A esto se añade todavía el reconocimiento que el valor de verdad sea lo verdadero, ya que yo distingo dos valores de verdad: lo verdadero y lo falso.”

Después de remitir a su ensayo sobre sentido y significado (el título se reproduce en español usualmente como: “Sobre sentido y referencia”), y haciendo breve mención de la diferencia entre el papel que el pensamiento tiene respecto a la oración cuando se usa y cuando se menciona (oración directa e indirecta, i.e., mientras es el sentido de la oración directa, es su significado en la oración cuando ésta se menciona dentro de otra oración), Frege enfatiza todavía:

“También se caracteriza más nítidamente la esencia de la función a diferencia del objeto que en Conceptografía. De esto resulta además la distinción de las funciones de primer y de segundo nivel. [...] ...conceptos y relaciones son funciones, en un significado de esta palabra ampliado por mí, y por ello tenemos que distinguir también entre conceptos de primer y segundo nivel, relaciones del mismo y de diferentes niveles.”

Creo que ahora podemos regresar a la discusión de los pasajes del parágrafo 10 de GGAI que aún no hemos comentado.

# 0020

Para mi buena suerte, Frege resume él mismo su investigación de la naturaleza de los números cardinales en Grundlagen, por lo que me limitaré a parafrasear la parte en cuestión como lista de enunciados e insertar alguna información complementaria si esto parece ayudar.

1.      El número no es un montón de cosas, ni tampoco ninguna propiedad de tal montón.

2.      El número tampoco es el producto subjetivo de procesos psicológicos.

3.      La indicación de un número enuncia algo objetivo acerca de un concepto.

4.      Resultó que no se puede demostrar la igualdad de números sin definición de 0 y 1 con base en la definición de Leibniz [2 es 1 más 1; 3 es 2 más 1; 4 es 3 más 1).

5.      Para reconocer a números como iguales no se deben tomar como el predicado (e.g., el cielo es azul) sino como el sustantivo [el azul del cielo] de una oración, pero no como objetos físicos ni espaciales y ni siquiera como posibles objetos de la imaginación.

6.      “Nosotros establecimos ahora el principio de que el significado de una palabra no se ha de explicar en aislamiento, sino en el contexto de una oración; sólo la adherencia a este principio permite evadir la concepción fisicalista del número sin caer en la concepción psicológica.”

7.      Hay un tipo de oraciones que tiene que tener sentido para todo objeto: las oraciones de reconocimiento. En el caso de los números, estas oraciones se llaman ecuaciones.

Esto es: el nombre del objeto tiene su significado porque es parte de una oración de reconocimiento, pero porque la palabra es nombre de un objeto, la oración tiene que tener sentido. Es importante tener en cuenta aquí que Frege aún no distinguía entre sentido y significado cuando redactaba este resumen del argumento de Grundlagen. Por esto, el enunciado 6 da lugar a muchas posibles interpretaciones.

8.      Para entender el sentido de una indicación de número, ésta tiene que entenderse como ecuación.

9.      Se tiene que determinar, entonces, el sentido de una ecuación de números sin hacer uso de numerales ni de la palabra “número”.

10.  “La posibilidad de asociar en ambas partes unívocamente los objetos que caen bajo un concepto F con los objetos que caen bajo un concepto G, la reconocimos como el contenido de un juicio de reconocimiento de números.”

11.  “Nuestra definición tenía que explicar esta posibilidad [10.] como sinónima con una ecuación de números.”

12.  Para cumplir el requisito de que se pueda sustituir un lado de la ecuación con el otro conservando el valor de verdad, y para garantizar al mismo tiempo que la oración de reconocimiento tenga un sentido, se propuso como definición: “el número cardinal que pertenece al concepto F es la extensión del concepto ‘concepto equinúmero del concepto F’, designando un concepto F equinúmero con un concepto G si existe la posibilidad mencionada de la asociación unívoca en ambos lados.”

Es decir, un número cardinal se toma como la extensión de un concepto si existe la relación de equinumeralidad con otro concepto, i.e. si los objetos que caen bajo uno y otro concepto pueden asociarse unívocamente en ambas direcciones. Para ilustrarlo, Frege usa el ejemplo de un mesero que pone cubiertos para cada plato en un restaurante. El mesero no tiene que contar los cubiertos (no requiere ningún número), sino basta con que para cada cuchillo haya un tenedor para saber que hay el mismo número de cuchillos y de tenedores. Lo que tienen de igual en todos los casos, sin tomar en cuenta propiedades particulares, es su número.

13.  La asociación unívoca en ambos lados, Frege la explica a partir de relaciones puramente lógicas.

14.  Frege define a continuación el número cardinal 0 y la expresión ‘n sigue en la secuencia de números naturales directamente a m’, así como el número 1, mostrando que 1 sigue directamente a 0 en la secuencia de los números naturales.

Creo que hasta aquí tiene que llegar nuestro resumen de lo que Frege pretende demostrar sobre los números naturales para ubicar el argumento del parágrafo 10 de GGAI. En este punto del libro estamos todavía muy lejos de llegar a intentar la definición de los números cardinales. Lo que nos interesaba saber aquí es el papel de las extensiones de conceptos en este argumento. Puesto que los números son extensiones de conceptos, es claro que Frege tiene que eliminar cualquier duda sobre la relación entre una función y su extensión en la construcción de sus fundamentos de la aritmética.

# 0019

Creo que tendré que hacer explícitas algunas de las suposiciones más que quise dejar tácitas según el mensaje N° 0003 sobre la conceptografía y el logicismo de Frege, postura que en realidad abandoné casi desde el principio.

Supongo que no dije suficiente acerca de la estrategia que Frege adopta para demostrar que los números no son propiedades de objetos (“el color de los ojos y el número de mis hermanos”) en el sentido de predicados – que corresponderían a la parte insaturada de una oración – sino que son objetos acabados que no requieren de ningún complemento para tener significado. Todo esto y más, Frege lo explica en Grundlagen o Fundamentos de la aritmética, y es en el libro cuyo parágrafo 10 del primer tomo estamos discutiendo presentemente que Frege quiere poner en práctica el esbozo presentado allí. La idea de Frege, que los números son objetos lógicos, va contra Kant, y Frege está totalmente consciente de ello, como no deja lugar a dudas en Grundlagen desde sus primeras páginas.

Pero la estructura fundamental del pensamiento de Frege era kantista, algo que sus lectores de extracción analítica suelen pasar por alto. El pensamiento de Frege estaba inspirado en y compartía la lucha de neo-kantistas como Hermann Lotze, Adolf Trendelenburg (de quien probablemente Frege tomó la expresión ‘conceptografía’, aunque el primer uso conocido de la palabra es de Wilhelm von Humboldt, como observa Christian Thiel) y muchos otros contra la tendencia pos-hegeliana de la naturalización y en particular psicologización de los fundamentos de la ciencia, manteniendo en contraposición la inevitabilidad de principios a priori. Si Frege se oponía a Kant, era para corregir aspectos de la filosofía de Kant que requerían corrección de acuerdo a su punto de vista, para poder mantener fundamentalmente los principios a priori en los cuales también él creía. Hacia el fin de su vida y después del colapso del logicismo fregeano a causa del descubrimiento de la paradoja de Russell, Frege intentara una nueva fundamentación de la aritmética, ya sin objetos puramente lógicos, y basada en los objetos de la geometría, tomadas de la intuición, reivindicando así aparentemente la posición original de Kant.

Pero al redactar Grundgesetze Frege todavía estaba convencido de que podía demostrar la fundamentación de la aritmética en objetos lógicos. Su primer intento de poner en práctica las ideas esbozadas en Grundlagen fracasó, en sus propias palabras, porque no había todavía descubierto lo que será la Ley fundamental V de Grundgesetze: la igualdad entre identidades de extensiones de conceptos y de la igualdad universal de las funciones correspondientes.

Me propongo dar en el siguiente mensaje entonces un resumen de aquellos aspectos del argumento principal de Grundlagen que conducirá a la formulación de la ley básica V.

# 0018

A primera vista suena misterioso lo que Frege dice a continuación de los pasajes que hasta ahora consideramos en el parágrafo 10 de GGAI

“Es posible determinar de manera universal que ‘ῆФ(η) = ᾶΨ(α)’ sin que se pueda deducir  de ello la igualdad de ἐФ(ε) y de ῆФ(η)”

puesto que Frege no introdujo en ningún lado un signo como ‘ῆФ(η)’. Pero podemos tratar de adivinar, de lo que dijo unas cuantas líneas arriba, que estos signos simbolizan lo que nombres para objetos como ‘Χ(ἐФ(ε))’ y ‘ἐФ(ε))’ tienen en común. Este enunciado entonces sólo es otra manera de decir que nuestro axioma (la ley fundamental V) no podrá determinar la naturaleza de los objetos que se identifican al lado opuesto de la igualdad universal. El significado de una expresión como ‘ῆФ(η)’ no está determinado, y no se determina apelando a que es igual a ᾶΨ(α). El signo de identidad dice que son dos nombres de un mismo objeto, y el resto de la fórmula dice, si es verdadera [como lo afirmará la barra del juico en la ley fundamental V; y el hecho de que se trata de un axioma, ya que para Frege un axioma no es axioma si no es verdadero, ni si su verdad se puede demostrar; pero lo que en un sistema de símbolos puede ser axioma, en otro puede ser demostrable, por lo que los axiomas son axiomas siempre respecto a un sistemas de símbolos] que esto es verdad, puesto que también -^a-Ф(a) = Ψ(a) es verdad. Para la determinación de ‘ἐФ(ε)’, esta igualdad universal no llega más lejos que la de ‘ῆФ(η)’ de la que no tenemos idea que clase de objeto designa.

No había misterio, realmente. “Tuviéramos entonces, por ejemplo, una clase de objetos que tuvieran los nombres de la forma ‘ῆФ(η)’ y para cuya distinción y cuyo reconocimiento valdría la misma marca que para los rangos de valor” dice Frege a continuación, lo que parece confirmar lo que acabamos de decir.

Hasta aquí llega nuestra traducción y reproduzco a continuación en español el siguiente pasaje de GGAI § 10:

“Nosotros podríamos ahora determinar la función Χ(ξ) de la manera que dijéramos que su valor debería ser lo verdadero para ῆΛ(η) como argumento y que su valor debería ser ῆΛ(η) para lo verdadero como argumento; el valor de la función Χ(ξ) debería ser además lo falso para el argumento ῆΜ(η) y debería ser ῆΜ(η) para lo falso como argumento; para cualquier otro argumento, el valor de la función Ф(ξ) debería coincidir con éste mismo [con el argumento]. Ahora, bien, si las funciones Λ(ξ) y Μ(ξ) no tienen siempre el mismo valor para el mismo argumento, entonces nuestra función Χ(ξ) nunca tiene el mismo valor para diferentes argumentos y, por consiguiente, también Χ(ῆФ(η)) = Χ(ᾶΨ(α)) siempre tendrá el mismo significado que ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’. Los objetos cuyos nombres tuvieran la forma ‘Χ(ῆФ(η))’ se reconocieran entonces con el mismo medio como los rangos de valor, y Χ(ῆΛ(η)) sería lo verdadero, y Χ(ῆΜ(η)) lo falso. Es decir, sin causar ninguna contradicción con nuestra identidad de  ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ con ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’ es siempre posible determinar que un rango de valor arbitrario debería ser lo verdadero y un rango de valor arbitrario diferente, lo falso. ¡Determinemos entonces que ἐ(__ε) debería ser lo verdadero y que ἐ(ε = (┬-^a-a = a)) lo falso! ἐ(__ε) es el rango de valor de la función __ξ cuyo valor es lo verdadero, si el argumento es lo verdadero y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor y este es, de conformidad con nuestra estipulación, lo verdadero. Por consiguiente, __ἐФ(ε) es lo verdadero únicamente si la función Ф(ξ) es un concepto, bajo el cual cae únicamente lo verdadero; en todos los demás casos __ ἐФ(ε) es lo falso. Además, ἐ(ε = (┬-^a-a = a)) es el rango de valor de la función ξ = (┬-^a-a = a) cuyo valor es lo verdadero únicamente si el argumento es lo falso, y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor, y este es, de acuerdo a nuestra estipulación, lo falso. Todo concepto, entonces bajo el cual cae lo falso y solo éste tiene como extensión de concepto, lo falso.”

[Aquí viene un nota de pie larga de Frege que nos guardaremos para después de discutir el pasaje que acabo de reproducir en español]

Espero encontrar algún día una mejor manera de representar aquí el signo de negación, y eventualmente el de universalidad.

# 0017

Al principio del parágrafo 10 Frege nos recordó del axioma (lo que luego será la ley fundamental V) que si dos funciones que son verdaderas para cualquier argumento son idénticas, entonces también sus respectivos rangos de valor son idénticos y viceversa. Pero nos hace ver –y este es el primer punto del parágrafo 10- que no podemos saber exactamente cuáles son estos rangos de valor; se podría tratar de ἐФ(ε) o también de Χ(ἐФ(ε)), y los dos nombres no designan necesariamente el mismo objeto. Por esto, Frege dice que esta ecuación no determina del todo las propiedades de una expresión como ‘ἐФ(ε)’.

Una vez identificado el problema, Frege procede a sugerir un remedio para tal indeterminación que tiene que ser superada para que la conceptografía pueda cumplir su objetivo. ¿Cuál exactamente es el problema que no podamos distinguir si el objeto designado por ‘ἐФ(ε)’ en la ecuación axiomática sea ἐФ(ε) o Χ(ἐФ(ε))?

En el parágrafo 7 Frege estipula que ‘Г = Δ’ significa lo verdadero si Г es lo mismo que Δ, y en todos los demás casos significa lo falso. La ecuación axiomática en cuestión sólo establece la identidad de los objetos a la izquierda del signo de igualdad principal, pero no establece absolutamente nada acerca de las propiedades de estos objetos. Este es el problema de Frege: ἐФ(ε) o Χ(ἐФ(ε)) bien pueden tener propiedades incompatibles. ¿De qué propiedades puede tratarse? La única interesante para la conceptografía en este punto de su desarrollo: el valor que da como argumento a cualquier función.

Frege ha de suponer que la naturaleza del problema está perfectamente clara, porque sin más introducción prosigue a decir que el remedio es, estipular para toda función en el momento de introducirla en la conceptografía cuál es el valor que obtiene si se le satisface con un rango de valor como argumento; y lo mismo, de aquí en adelante, si se le satisface con un valor de verdad, que es el único otro objeto introducido hasta ahora, para el cual ya quedó establecido qué valor da a todas las funciones de la conceptografía hasta este momento.

Hemos visto que la única función que es necesario considerar para este fin es ‘ξ = ζ’. Esta identidad es siempre falsa si uno de los argumentos es un rango de valor y el otro un valor de verdad, a menos que haya rangos de valor que sean al mismo tiempo un valor de verdad. Pero esta es una cuestión que nuestra ecuación axiomática no puede resolver, porque no aclara ninguna propiedad de los rangos de valor, y los rangos de valor se introdujeron en la conceptografía únicamente mediante esta ecuación.

El problema ha recibido, pues, un nuevo enfoque. De la pregunta general de la indeterminación de las propiedades de un objeto designado por ‘ἐФ(ε)’, a la pregunta más específica si este objeto puede dar el valor de verdad, verdadero, a una función como ξ = ζ si el otro argumento es un valor de verdad. Este puede ser el caso únicamente si el rango de valor es al mismo tiempo un valor de verdad, ya que de lo contrario los objetos al lado izquierdo y derecho del signo de identidad no serían idénticos y la función tendría el valor, lo falso.

Por esto Frege concluye la segunda etapa de su argumento diciendo, repito:

“...es imposible decidir la pregunta si uno de los valores de verdad es un rango de valor de que ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ debería tener el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’.”

# 0016

No puedo discutir aquí las diferencias entre las visiones de la lógica de Frege y el joven Wittgenstein; son muchas las preguntas acerca de este tema y no sé las respuestas.

Lo que para nuestros fines aquí es suficientemente claro, en todo caso, es que al menos en el presente parágrafo una estipulación en la lógica es admisible para Frege, si no causa conflictos con otras estipulaciones. Todo lo que se tiene que probar en el parágrafo 10, entonces, es

1. que la introducción de los rangos de valor no determina totalmente el significado de los argumentos que son rangos de valor;

2. que hay una manera de determinar totalmente el significado de estos argumentos;

3. que esta determinación no causa conflicto con las demás estipulaciones.

La discusión del segundo punto, Frege la inicia diciendo:

“¿Cómo, entonces, se elimina esta indeterminación? Al determinar para cada función en su introducción cuál valor obtiene para rangos de valor como argumentos, al igual que para todos los demás argumentos. ¡Hagamos esto para las funciones consideradas hasta ahora!”

A continuación  Frege demuestra que es suficiente si se hace esta estipulación para una de las tres funciones introducidas hasta ahora. De las tres funciones consideradas, ┬ξ (la negación de __ξ) puede ignorarse, puesto que es o bien lo verdadero, entonces ‘__ξ’ es un nombre de lo verdadero, o no es lo verdadero, entonces ‘__ξ’ es un nombre de lo falso.

La función __ξ nombra lo verdadero siempre que ‘ξ’ sea lo verdadero. ‘ξ = ξ’ siempre es lo verdadero, entonces ‘ξ = (ξ = ξ)’ es una función que siempre es lo verdadero. Por lo que esta función está comprendida en la función más general: ‘ξ = ζ’. Basta entonces determinar qué valor de verdad adquiere esta función si uno de estos argumentos es un rango de valor. 

Frege dice:

“Puesto que hasta aquí introdujimos únicamente los valores de verdad y los rangos de valor como objetos, sólo puede tratarse de si uno de los valores de verdad acaso es un rango de valor.”

‘ξ = ζ’ puede significar lo verdadero únicamente si los dos argumentos son el mismo valor de verdad. Si ninguno de los valores de verdad es un rango de valor, entonces ‘ξ = ζ’ es lo falso, si uno de los dos argumentos es un rango de valor y el otro un valor de verdad.

Por otra parte, si Ф(ξ) es lo verdadero para cualquier argumento (su rango de valor es lo verdadero) entonces también está decidido cuál valor toma ‘ξ = ζ’ si se toma como uno de sus argumentos lo verdadero: lo verdadero, si este valor es lo verdadero, y lo falso, si es lo falso. Y viceversa para el caso en que Ф(ξ) es lo falso para todo argumento.

Es decir, todos los casos de posibles valores de verdad para la función ξ = ζ están cubiertas, mientras mantengamos que no hay valores de verdad que sean rangos de valor.

Ahora, la cuestión de la indeterminación de los rangos de valor se presenta en nueva vestimenta:

“...es imposible decidir la pregunta si uno de los valores de verdad es un rango de valor de que ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ debería tener el mismo significado que

‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’.”

Continuaremos aquí en la siguiente entrega del blog.