# 0031

Dummett y otros, como e.g. Heck, o también Edward N. Zalta en su entrada “Frege's Theorem and Foundations for Arithmetic” en Stanford Encyclopedia of Philosophy (http://plato.stanford.edu/entries/frege-theorem/) sugieren que lo que surge en el parágrafo 10 es el mismo problema que Frege menciona en Grundlagen y que se suele llamar el problema de Cesar, o la pregunta si Inglaterra es lo mismo que la dirección del eje de la tierra. Quizá sería buena idea conocer más de cerca a qué se refiere este comentario.

Frege menciona lo que posteriormente llegó a conocerse bajo este complejo de problemas en el parágrafo 56 de Grundlagen y lo usa para ilustrar porque no es suficiente la definición de números propuesta por Leibniz, complementada con una definición de 0 y de 1, como primeramente insinúa en el parágrafo 55. Existe una versión en español de Grundlagen, pero no la tengo a la mano, entonces haré mi propia traducción del pasaje.

“Una vez que reconocimos que la índicación numérica contiene un enunciado sobre un concepto, podemos intentar complementar las definiciones leibnizianas de cada uno de los números por la del 0 y del 1.

[Las definiciones leibnizianas a que Frege aquí se refiere, las menciona en el § 6, citando de Nouveaux Essais; las definiciones son ‘2 es 1 y 1’, ‘3 es 2 y 1’ y ‘4 es 3 y 1’ con cuya ayuda, junto con el axioma de que se pueden sustituir elementos iguales conservando la igualdad (que es su vez es susceptible de ser definido), más el axioma que ‘a + (b + c) = (a + b) + c’ suministrado en la prueba por Frege, Leibniz demuestra que el enunciado ‘2 + 2 = 4’ es demostrable y no depende de intuiciones, haciendo las operaciones matemáticas juicios analíticos en vez de sintéticos, y permitiéndole a Frege embarcarse en su aventura logística en desafío de Kant. Continuemos con el texto de Frege:]

...el número 0 es pertinente a un concepto si de manera universal el enunciado vale que a no cae bajo este concepto, sea a lo que sea.

De manera similar podría decirse: el número 1 es pertinente a un concepto F, cuando el enunciado ‘a no cae bajo este concepto’ no vale de manera universal sea a lo que sea, y que se sigue de manera universal de los enunciados ‘a cae bajo F’ y ‘b cae bajo F’ que a y b son lo mismo.

Frege sugiere todavía que podríamos hacer el intento de explicar la transición de un número al siguiente así:

...el número (n + 1) es pertinente al concepto F si hay un objeto a que cae bajo F y que tiene la propiedad de que el número n es pertinente al concepto ‘cae bajo F pero no a’.

Así termina el § 55, y estos intentos de definición pueden parecer tan naturales, dice Frege, que se requiere una explicación porque son insuficientes. Ahí es, donde entra el “problema de Cesar”. Que hay problemas, sin embargo, podría sospecharse, comenta, ya que

“...si se observa detenidamente, el sentido de la expresión ‘el número n es pertinente al concepto G’ nos es tan desconocido como aquel de la expresión ‘el número (n + 1) es pertinente al concepto F.’ Ciertamente, podemos decir, basados en esta explicación junto con la penúltima lo que significa ‘el número 1 + 1 es pertinente al concepto F’ y luego, haciendo uso de esto, el sentido de la expresión ‘el número 1 + 1 + 1 es pertinente al concepto F’, etc.; pero nunca jamás podemos decidir con base en nuestras definiciones –para dar un ejemplo extremo- si el número Julio Cesar es pertinente a un concepto, si este conquistador conocido de Galia es un número o no.”

Además, continúa, tampoco podríamos demostrar que ‘a = b’ necesariamente si a y b son pertinentes al mismo concepto F.

Es bastante obvio que lo único que Frege trata decir con su ejemplo extremo es que nuestras definiciones no nos permiten distinguir los números de otros objetos, ni saber si a dos conceptos les pertenece el mismo número, que éste efectivamente sea el mismo número y no, por ejemplo, un objeto meramente similar pero diferente en algunos aspectos (como algunos matemáticos sugirieron). 

Seguimos sin saber, pues, qué cosa es un número, y justo tenemos que saberlo si queremos demostrar que el sistema de Kant necesita corregirse en cuanto a su noción de las operaciones aritméticas.

Lo que también se nota en este pasaje sin posibilidad de duda es que para Frege, cuando redactó Grundlagen, ‘sentido’ y ‘significado’ eran prácticamente sinónimos. Esto nos obliga a reflexionar un poco sobre el sentido en que en el § 10 de Grundgesetze reaparece el “problema de Cesar” y qué signfica.

También trataremos de hacer algunas reflexiones sobre el significado de un corto pasaje de Zalta hacia el final de su entrada sobre el “Teorema de Frege” en su entrada n Stanford Encyclopedia of Philosophy.

“Even if Frege somehow could have successfully restricted the quantifiers of Gg [Grundgesetze] to avoid the Julius Caesar problem, he would no longer have been able to extend his system to include names of ordinary non-logical objects. For if he were to attempt to do so, the question, “Under what conditions is εF [el rango de valor pertinente al concepto F] identical with Julius Caesar?”, would then be legitimate but have no answer. That means his logical system could not be used for the analysis of ordinary language. But it was just the analysis of ordinary language that led Frege to his insight that a statement of number is an assertion about a concept”.

# 0030

La nota de pie que Frege pone al final del penúltimo párrafo del § 10 de GGAI dice lo siguiente:

“Se nos podría ocurrir fácilmente generalizar nuestra estipulación de tal manera que todo objeto pueda tomarse como curso de valor, a saber, como la extensión de un concepto bajo el cual éste cae como objeto único. Un concepto, bajo el cual el objeto Δ cae como único, es Δ = ξ. Intentamos la estipulación: que ἐ(Δ = ε) sea lo mismo que Δ. Esta es posible para todo objeto que nos es dado independientemente de rangos de valor por la misma razón que vimos en los valores de verdad. Pero antes de que podamos hacer esta estipulación surge la pregunta si ésta no está en contradicción con nuestra marca de reconocimiento de los rangos de valor cuando tomamos para Δ un objeto que ya nos es dado como rango de valor, ya que no es admisible dejar que valga sólo para aquellos objetos que no nos son dados como rangos de valor, debido a que la manera cómo un objeto nos es dado no puede considerarse como propiedad incambiante de éste, sobre todo porque el mismo objeto puede darse de manera diversa. Insertemos entonces para ‘Δ’ ‘ἀФ(α), entonces obtenemos:

‘ἐ(ἀФ(α) = ε) = ἀФ(α)

y esto tendría el mismo significado que

-^a-(ἀФ(α) = a) = Ф(a),

lo que, sin embargo, significa lo verdadero únicamente sie Ф(ξ) es un concepto bajo el cual cae únicamente un único objeto, a saber, ἀФ(α). Puesto que esto no es necesario, no podemos mantener nuestra estipulación en esta generalidad.

La ecuación ‘ἐ(Δ = ε) = Δ’ con la cual intentamos aquella estipulación es un caso especial de ἐΩ(ε, Δ) = Δ’ y se puede preguntar, cuáles tendrían que ser las características de la función 

Ω(ξ, ζ), para que se pueda estipular de manera general que Δ sea lo mismo que ἐΩ(ε, Δ).

Entonces también

ἐΩ(ἀФ(α)) = ἀФ(α)

tiene que ser lo verdadero, por consiguiente, también

-^a-Ω (ε, ἀФ(α)) = ἀФ(α),

sea Ф(ξ) la función que sea. Conoceremos más adelante una función que tiene esta propiedad con ξÇζ; pero ésta se definirá con la ayuda del curso de valor, de manera que aquí no nos ayuda.

# 0029

Antes de intentar una conclusión de nuestras reflexiones podría ser quizá oportuno atender algunas dudas menores que podrían haber quedado en el camino. Así, por ejemplo, en la primera parte del argumento, Frege dice:

“De esto se desprende que al declarar que el significado de ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ sea igual al de ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’, el significado de un nombre como ‘ἐФ(ε)’ de ninguna manera está determinado del todo, al menos, si existe una función Χ(ξ) cuyo valor para un rango de valor como argumento no siempre es igual a este mismo.”

A primera vista podría parecer extraño que podríamos siquiera suponer que X(ξ) sea “normalmente” una función cuyo valor para un rango de valor como argumento sea siempre igual a sí mismo.

La función que aquí podríamos tener en mente es __ξ y, si ‘ξ’ es aquí el valor de verdad verdadero, entonces el valor de la función es siempre igual al argumento: lo verdadero. Si esto sucede también para la función __(ἐФ(ε)), entonces, efectivamente, Χ(ἐФ(ε)) y ἐФ(ε) tendrían el mismo significado, y los identificaríamos correctamente. Pero tenemos que cubrir también la “función Χ(ξ) cuyo valor para un rango de valor como argumento no siempre es igual a este mismo.” Y entonces, esta identificación podría ser falsa sin contradecir “que el significado de ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ [es] igual al de ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’”.

Quizá deberíamos todavía preguntarnos por qué rangos de valor habrían de ser objetos y no entidades insaturados como funciones. Nuevamente recurriremos a “Función y concepto” donde Frege explica como aproximación  (p. 18):

“Si admitimos así objetos sin restricción como argumentos y como valores de funciones, surge ahora la pregunta, qué es lo que aquí se llama ‘objeto´. Yo pienso que una definición estricta es imposible, porque nos las habemos aquí con algo que por ser simple no admite de ningún  análisis. Sólo se puede señalar a lo que se refiere. Aquí sólo se puede decir brevemente: objeto es todo lo que no es función, cuya expresión, entonces, no lleva ningún lugar vacío.

...

Nosotros establecimos arriba ecuaciones entre rangos de valor, e.g.

»ἐ(ε² - 4ε) = ἀ(α[α – 4])«

Podemos analizar esto en »ἐ(ε² - 4ε)« y »( ) = ἀ(α[α – 4])«.

Esta última parte requiere de un complemento, puesto que lleva a la izquierda del signo de igualdad un lugar vacío. La primera parte »ἐ(ε² - 4ε)« está totalmente completa, por lo que significa un objeto. Rangos de valor de funciones son objetos, mientras que las propias funciones no lo son. Nosotros habíamos llamado también ἐ(ε² = 1) un  rango de valor, pero lo pudimos llamar también como extensión del concepto raíz cuadrada de 1. Por consiguiente, también las extensiones de conceptos son objetos, no obstante que los conceptos no lo son.”

Frege estipula así que rangos de valor son objetos, sin precisar qué cosa es un objeto; más bien dice, que cosa no es un objeto: funciones y en particular conceptos no son objetos, porque son insaturados. ‘Julio Cesar’ es el nombre de un objeto en este sentido y la conceptografía no puede a priori establecer rangos que excluyan este tipo de objetos, al menos como Frege ve este asunto. Creo que podremos dedicarnos ahora a revisar la nota de pie de página que nos falta traducir en nuestras reflexiones sobre el parágrafo 10 de GGAI.

# 0028

Frege concluye el parágrafo 10 así:

“Hemos determinado los rangos de valor hasta donde aquí es posible. Sólo si se llega a tratar además de introducir una función que no se puede derivar de las funciones que hasta aquí conocemos, sólo entonces podemos determinar cuáles valores ésta debería tener para rangos de valor como argumentos; y esto puede tomarse tanto como una determinación de los rangos de valor, como de aquellas funciones.”

Frege parte de allí para determinar el significado de la función \ξ en el siguiente parágrafo, según hemos visto.

Quizás nos podríamos hacer todavía una pregunta como ésta: Frege determinó que ‘ἐ(__ε)’ ha de ser lo verdadero ¿Podría haber determinado, e.g., que ‘ἐ(ε = (┬-^a-a = a))’ es lo verdadero?

La redacción del § 10 no lo prohíbe. Pero esto sería como empezar la liga de campeones metiéndose a propósito varios autogoles. El objetivo del § 10 es abrir el camino para establecer una determinación constructiva para la conceptografía, no para inhibir su construcción. Exactamente en el mismo espíritu Frege determina los posibles significados de una función como \ξ de tal manera que cumple el propósito: encontrar una función que permite hablar en la conceptografía de un objeto determinado: “el objeto” que como único cae bajo un concepto. En el paso previo, el  § 10, Frege establece que el rango de valor que corresponde a la función __ξ significa lo verdadero y lo que demuestra en este parágrafo es que tiene el derecho de hacerlo sin contradecir lo que quedó determinado cuando se introdujeron primeramente los rangos de valor como objetos lógicos para hacer compañía a los solitarios valores de verdad.

Quizá podríamos preguntar también la pregunta que trata de contestar Dummett ¿Sigue vigente el principio de contexto en Grundgesetze? A mí me parece que esta pregunta es importante sólo si queremos entender los esfuerzos de Frege como intentos de construir una teoría de significado, tal como lo hace Dummett. Frege no volvió a mencionar este, así llamado, principio de contexto en sus escritos posteriores a Fundamentos de la aritmética y no dice por qué no lo hace.

A mí al menos me parece perfectamente claro que el principio de contexto, si así se le quiere llamar, tal como Frege lo usa en Grundlagen, sigue vigente en Grundgesetze en el siguiente sentido: el portador de sentido y significado por excelencia es la oración, y significado y sentido de sus partes dependen de su descomposición en concepto y argumento. Por esto, en cuanto a la lógica, la oración, si tiene significado, lo que significa es lo verdadero o lo falso. Y el sentido de una oración verdadera es, como dirá Frege en el § 32:

“Así se muestra que nuestros ocho nombres originales tienen un significado, y con ello, que lo mismo vale también para todos los nombres legalmente compuestos de ellos. Pero no sólo un significado pertenece a todos los nombres formados legalmente de nuestros signos, sino también les pertenece un sentido. Cada uno de estos nombres de un valor de verdad expresa un sentido, un pensamiento. Es que por medio de nuestras estipulaciones queda determinado en cuáles condiciones [uno de estos nombres] significa lo verdadero. El sentido de este nombre, el pensamiento es éste: que estas condiciones se cumplen. Una oración de la conceptografía consiste únicamente de la barra de juicio y de un nombre, o de una marca latina de un valor de verdad.”

Para no confundirnos, tenemos que tener en cuenta que la entidad mínima de significado de los signos originales es la oración, no una entidad que únicamente puede ser parte de una oración: ni funciones, ni relaciones, ni conceptos tienen significado. Los nombres que se refieren a otros objetos (lógicos), cómo e.g. los números, tienen que introducirse laboriosamente a través de conceptos de segundo nivel a partir del significado de oraciones enteras. Es bastante claro aquí que la conceptografía puede tratar únicamente de objetos lógicos y que queda fuera del alcance de estas consideraciones cómo se establece la verdad de una oración como “El Monte Blanco es la montaña más alta de Europa”, o de una oración como “Ulises estaba dormido cuando se le llevó a Ítaca”. Determinar la verdad de tales oraciones o si son oraciones que siquiera pueden ser verdaderas, no es asunto de la lógica. Pero también es claro que como teoría de significado sería excesivamente pobre. Parece bastante absurdo creer que Frege haya podido pensar en establecer una teoría de significado del lenguaje en general con base en esta construcción del sistema de la ciencia (Dummett, ciertamente, al menos en el artículo que aquí estábamos comentando, no lo hace; pero sigue insistiendo un poco absurdamente que la parte introductoria de GGAI de todas maneras es una teoría de significado parcial). Y parece ser al menos intuitivo por qué Frege podría haber pensado que no se puede tener una teoría de significado universal: tal teoría caería forzosamente en el tipo de círculo vicioso que Dummett y otros le atribuyen a su argumento en los parágrafos introductorios de GGAI, al afirmar Frege que en las secciones que anteceden el pasaje que acabamos de citar se esté demostrando que todos los nombres de la conceptografía tienen un significado. Quizá podremos reflexionar un poco más sobre esta cuestión en otra ocasión.

Nos falta todavía traducir y comentar una nota de pie de página de Frege que al final del § 10 introduce la necesidad de la función \ξ y que es reminiscente del “problema de César”; esto nos dará una vez más ocasión de reflexionar un poco sobre lo que dice Dummett acerca del principio de contexto.

Y finalmente nos queda una pregunta que nos hicimos algunos días atras: ¿que clase de bichos son los sentidos?

# 0027

Quizá sería bueno recordar aquí cómo quedó la relación entre función, argumento, valor y rango de valor  una vez que Frege distingue entre sentido y significado; recordemos también que esta distinción no existe aún en Fundamentos de la aritmética, que es el motivo por el cual surge la controversia acerca del principio de contexto y si y de qué manera este principio sigue vigente después, sobre todo en la construcción del sistema iniciada con GGAI.

Frege establece esta relación en su muy conocida ponencia “Sobre función y concepto” de 1891, a la cual se refiere Frege también en GGAI como explicación del uso que él hace de estos términos, y de la cual traduciré a continuación un breve pasaje (p. 8 a 11):

“Ahora bien, nosotros llamamos esto, a lo que se complementa la función a través de su argumento, el valor de la función para este argumento: así 3 es, e.g., el valor de la función 2 · x² + x para el argumento 1, ya que tenemos: 2 · 1² + 1 = 3.

...

El método de la geometría analítica ofrece ahora un método para ilustrarnos los valores de una función para diferentes argumentos. Al tomar el argumento como valor numérico de una abscisa y el valor pertinente de la función como valor numérico de la ordenada de un punto, obtenemos una totalidad de puntos que se muestra a la vista en los casos usuales en forma de curva. Cada punto de la curva corresponde un argumento con el valor pertinente de la función.

....

...la curva que obtenemos de

y = x² – 4x

es la misma que es el resultado de

y = x(x – 4).

Yo enuncio esto así: la función x(x – 4) tiene el mismo rango de valor que la función x² – 4x.

Si escribimos

x² – 4x = x(x – 4)

entonces no hemos puestas como iguales una función con otra, sino sólo los valores de las funciones. Y si entendemos esta ecuación de manera tal que debe ser válida sin importar qué argumento insertamos para x, entonces hemos expresado de esta manera la generalidad de una ecuación. Pero podemos decir también en lugar de esto “el rango de valor de la función x(x – 4) es igual al rango de valor de la función x² – 4x” y tenemos aquí entonces una ecuación entre rangos de valor. Ahora bien, que sea posible tomar la generalidad de una ecuación entre valores de función como ecuación, a saber, como una ecuación entre rangos de valor, no se puede demostrar, según creo, sino se tiene que tomar como ley básica de la lógica.”

A continuación Frege introduce la denotación para los cursos de valor:

ἐ(ε² - 4ε)

como rango de valor para la función

x² – 4x.

Armados con una visión más amplia de cuáles son el punto de vista y la intención de Frege, haremos ahora el intento de avanzar con nuestra comprensión del contencioso parágrafo 10 de GGAI. Después de demostrar que el precursor metalógico de la ley fundamental V no determina el significado de una fórmula, en la cual podría aparecer como argumento un rango de valor, él continúa:

“Nosotros podríamos ahora determinar la función Χ(ξ) de la manera que dijéramos que su valor debería ser lo verdadero para ῆΛ(η) como argumento y que su valor debería ser ῆΛ(η) para lo verdadero como argumento; el valor de la función Χ(ξ) debería ser además lo falso para el argumento ῆΜ(η) y debería ser ῆΜ(η) para lo falso como argumento; para cualquier otro argumento, el valor de la función Ф(ξ) debería coincidir con éste mismo [argumento].”

Las expresiones ’ῆΛ(η)’ y ‘ῆΜ(η)’ en sí no significan nada. Frege las usa en lugar de expresiones como “determinado argumento distinto de un valor de verdad” principalmente para que pueda identificarlos como objetos distinguibles entre sí para explicar en términos generales qué es lo que va a hacer. En el argumento hasta aquí Frege estableció que las reglas de la conceptografía no determinan del todo el significado de los rangos de valor. Que entonces es libre de hacer las determinaciones que se necesitan (para cada nueva función que se introduce en la conceptografía) para evitar un vacío de determinación,  sin riesgo de que estas nuevas determinaciones causen algún conflicto con las ya existentes.

Y ahorita, entonces, Frege pasa a la tercera etapa del argumento y determina el significado que las tres funciones introducidos hasta ahora adquieren si como argumento se combina con la función un rango de valor para darnos el valor de tal función; y qué valor obtendrá la función con algún otro objeto como argumento que a estas alturas todavía no se introduce en la conceptografía.

Las posibilidades son estas:

1. En  Χ(ξ) ‘ξ’ se toma como ’ῆΛ(η)’; de acuerdo a lo que determinará en las siguientes líneas del § 10, esto ha de dar el valor ‘lo verdadero’.

2. En  Χ(ξ) ‘ξ’ se toma como lo verdadero; entonces en las mismas circunstancias, esto nos dará el valor ῆΛ(η).

3. En  Χ(ξ) ‘ξ’ se toma como algún otro argumento. Entonces, si nada más cambia, el valor que esto nos da es este mismo argumento.

Esta determinación determina, entonces, para cuál función el rango de valor es lo verdadero y para cuál argumento el valor de la función siempre es lo verdadero. Se determinan aquí las características tanto de la función como del rango de valor: para cuál función el rango de valor es lo verdadero, de tal manera, que se cumple con esta determinación (Y lo análogo vale para la relación de la función y su rango de valor que dan como valor de verdad siempre lo falso; que Frege hable una vez de 'Χ(ξ)' y la otra de 'Ф(ξ)' no tiene importancia, aunque supongo que es un descuido, ya sea del propio Frege o del editor). 

Frege no tiene que buscar mucho para encontrar una función y su rango de valor que cumplen y repito el pasaje que ya vimos hace algunos días:

“Es decir, sin causar ninguna contradicción con nuestra identidad de  

‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ con ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’ es siempre posible determinar que un rango de valor arbitrario debería ser lo verdadero y un rango de valor arbitrario diferente, lo falso. ¡Determinemos entonces que ἐ(__ε) debería ser lo verdadero y que ἐ(ε = (┬-^a-a = a)) lo falso! ἐ(__ε) es el rango de valor de la función __ξ cuyo valor es lo verdadero, si el argumento es lo verdadero y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor y este es, de conformidad con nuestra estipulación, lo verdadero. Por consiguiente, __ἐФ(ε) es lo verdadero únicamente si la función Ф(ξ) es un concepto, bajo el cual cae únicamente lo verdadero; en todos los demás casos __ ἐФ(ε) es lo falso. Además, ἐ(ε = (┬-^a-a = a)) es el rango de valor de la función ξ = (┬-^a-a = a) cuyo valor es lo verdadero únicamente si el argumento es lo falso, y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor, y este es, de acuerdo a nuestra estipulación, lo falso. Todo concepto, entonces bajo el cual cae lo falso y solo éste tiene como extensión de concepto, lo falso.”

La forma de la determinación es similar a la que Frege usa en el siguiente parágrafo, apelando allí tácitamente a la libertad (y necesidad) de determinar el valor de una función a la hora de introducirla, donde introduce mediante la expresión ‘\ξ’ un caso especial de una función involucrando rangos de valor, distinguiendo dos casos:

“1. si hay para el argumento un objeto Δ de modo tal que ἐ(Δ = ε) es el argumento, entonces el valor de la función \ξ debe ser Δ mismo;

2. si no hay ningún objeto Δ para el argumento de modo tal que el argumento sea ἐ(Δ = ε), entonces el argumento mismo sea el valor de la función \ξ.

De acuerdo a esto, \ξ(Δ = ε) = Δ significa lo verdadero  y \ἐФ(ε) significa entonces el objeto que cae bajo el concepto Ф(ξ), si Ф(ξ) es un concepto bajo el cual cae un objeto, y sólo un objeto; en todos los demás casos, ‘\ἐФ(ε)’ significa lo mismo que ‘ἐФ(ε)’.”

Supongo que estamos cerca de concluir nuestras reflexiones sobre el parágrafo 10 del tomo I de Leyes fundamentales de la aritmética.

# 0026

El esfuerzo que Frege hizo casi durante toda su vida, de demostrar que los números son objetos que forman parte de la materia de la cual trata la lógica, es más o menos diametralmente opuesto al esfuerzo de la corriente principal en que se inspiraba una mayoría de los matemáticos a finales del siglo XIX e.g. el matemático alemán Hilbert, para el cual las matemáticas no tratan de nada, sino son meramente sistemas deductivos desarrollados a partir de muy pocos axiomas, cuya verdad no importa para el sistema deductivo construido a partir de ellos (lo que no debe pasar es que sea posible deducir contradicciones de los axiomas – lo que inspiraba el famoso programa de Hilbert, el cual llevó finalmente a los todavía más famosos teoremas de Gödel). El diálogo entre Frege e Hilbert era realmente un diálogo entre sordos, pues aunque Frege se daba cuenta de que Hilbert usaba el término ‘axioma’ en un sentido diferente que él, no pudo admitir que la aritmética no tuviera objetos de que trata, i.e., los números. Hasta en los últimos años de su vida, donde concede la posibilidad de que él se haya dejado seducir desafortunadamente por el lenguaje natural a suponer que los números deberían ser objetos – lo que una vez más demostrase que los matemáticos hacen bien en olvidarse del lenguaje natural para sus investigaciones. Pero a la hora de redactar el tomo I de Grundgesetze, para Frege los axiomas eran axiomas porque (i) eran verdaderos y (ii) porque no se podían demostrar dentro del mismo sistema de axiomas. Si un axioma es demostrable, deja de ser axioma y se convierte en teorema demostrable. Las ideas de los matemáticos en derredor Hilbert habían roto con esta venerada noción de axioma, inspirada en Euclides.

Pero a Frege y a los más jóvenes Hilbert y Russell les unía, con todas las enormes diferencias que había entre su visión de las matemáticas, una meta: asegurar que las demostraciones matemáticas no tenían defectos ocultos. La enorme diferencia entre Hilbert y Frege era aquí, como ya hemos dicho, que Frege creía que las proposiciones matemáticas eran significativas, mientras que Hilbert vaciaba los nombres que aparecían en sus fórmulas de todo contenido y cortaba así el nexo de lo verdadero y lo falso que Frege creía haber establecido entre el lenguaje de las matemáticas y el lenguaje de la experiencia (cosa que finalmente resultó ser una ilusión; Hilbert, en cambio, traslada el problema de la verdad de los enunciados matemáticos de éstos mismos a las consideraciones meta-matemáticas, donde, no muy sorprendente, resurge el problema). Lo que unía a Frege, a Russell y a Hilbert era su esfuerzo, entonces, de hacer explícitos todos los supuestos lógicos escondidos en las deducciones matemáticas; esto es lo que Frege trata de llevar a cabo en Grundgesetze, y Whitehead y Russell en Principia Matemática más de 10 años después de la pulbicación de GGAI, desde luego sin los supuestos neokantistas que inspiraban a Frege en su obra. Russell, en el anexo A de Principles of Mathematics elogia en las primeras páginas los esfuerzos de Frege. Siendo anti-kantista él y habiendo tanta coincidencia en las metas y en los métodos, es entendible que no podía suponer que Frege quizá trataba de corregir meramente un aspecto del edificio teórico de Kant sin derruirlo del todo, al postular la naturaleza de los números como objetos lógicos (que Kant, como ya observamos, juzgaba imposible; quien muy probablemente inspiraba más directamente a Frege en esto, Hermann Lotze, compartía con Frege la convicción de que los números eran objetos lógicos, pero pensó que era imposible demostrarlo).

El problema con el cual luchaban Frege, Russell, Hilbert y muchos otros con métodos muy diversos, lo ilustra muy bien un ejemplo que dan Ernest Nagel y James R. Newman en su libro Gödels Proof. El ejemplo es muy bonito y muy ilustrativo, por lo que lo reproduzco aquí enteramente; se trata de la prueba de Euclides de que no hay un número primo más alto:

“Vamos a suponer, en contradicción con el enunciado que ha de demostrarse, que haya un número primo más alto el cual lo llamamos ‘x’. Entonces vale:

1. x es el número primo más alto.

2. Fórmese el producto de todos los números primos que son menores que x o que son iguales a x, y súmase 1.

Esto da un nuevo número y, para el cual vale:

y = (2 · 3 · 5 · 7 · .... · x) + 1

3. Si y es un número primo, entonces x no es el número primo más alto, ya que y es evidentemente más alto que x.

4. Si y se puede descomponer (i.e. no es número primo), entonces tampoco x es el número primo más alto, ya que, si y es un número que se puede descomponer, entonces debe ser divisible por un número primo z; y z tiene que ser diferente de cada uno de los números primos 2 · 3 · 5 · 7 · .... · x que son menores que x o iguales a x. Por consiguiente, z tiene que ser más alto que x.

5. Pero y es, o bien un número primo o se puede descomponer.

6. Por lo tanto, x no es el número primo más alto.

7. No hay número primo más alto.”

Como ejemplo de una suposición lógica tácita los autores mencionan para el enunciado 5, que éste se basa en el teorema lógico ‘p o no-p’ mediante sustitución de ‘p’ por ‘x es un número primo’.

Es una meta primordial de Frege en el diseño de su Conceptografía hacer explícitos todos los supuestos lógicos de los cuales tanto lógicos como matemáticos hacen uso tácitamente. En Grundgesetze Frege trata de llevar a cabo este objetivo para el programa enunciado en Grundlagen der Arithmetik.

Estamos cerrando el anillo de sitio alrededor de nuestro objetivo...

# 0025

Russell y Dummett y muchos otros pensaron que lo que Frege realmente quiere decir, cuando dice Sinn es Meaning, o sea, lo que ordinariamente se entiendo por significado. Pero Frege reservó este término para lo que, en una teoría de significado russelliana, sería el referente. Es por esto natural que “Über Sinn und Bedeutung” se quiera traducir como “Sobre sentido y referencia” y Kripke lo traduciría de preferencia como “Sobre significado y referente”.

Pero creo que por ahora parece bastante improbable que Frege haya tenido o querido construir una teoría de significado russelliana, y todas las afirmaciones de Dummett no obstante, creo que van Heijenoort e Hintikka et al. tienen razón en suponer que para Frege, al igual que para Wittgenstein, el lenguaje era el medio universal y que no era posible tener una teoría semántica. Dummett admite, pienso, que no se puede tener una teoría de significado que abarca el lenguaje natural (quizá a diferencia de lo que afirma en las páginas finales de Origins of Analytical Philosophy publicado en 1994), pero insiste en que lo que Frege hace en GGAI es construir una teoría semántica para su lenguaje de símbolos lógicos. Sea esto como sea, es poco probable también bajo el supuesto de Dummett que Frege haya tenido el objetivo de construir una teoría semántica. No necesitamos disputar este punto para aclarar el objetivo de Frege en el parágrafo 10 de GGAI. Basta con saber que Frege quiso construir un sistema de la ciencia sobre bases lógicamente sólidas, dejando de lado posibles efectos colaterales.

El último pasaje que citamos del libro de Sluga podría dar la impresión de que se trata de convertir a Frege en un kantista. Pero es claro (también del libro de Sluga) que Frege en ningún momento adopta los puntos de vista sobre metafísica de Kant, y se refiere a él únicamente como punto de referencia para reconstruir las bases a priori del conocimiento. Para esto, como ya mencionamos, creo, aceptó el punto de vista kantiano de que los juicios en geometría dependen de la intuición, por lo que son juicios sintéticos a priori; pero cree necesario corregir a Kant en cuanto a las oraciones que versan de objetos aritméticos, tomando a estos por objetos lógicos puros que según Kant son imposibles; dando luz así al logicismo y proporcionando una materia de que la lógica puede tratar: los objetos lógicos. Gran parte de la primera parte de GGAI y, en particular, de nuestro parágrafo 10 tratan de allanar el camino para demostrar que se trata de objetos objetivos. En sus convicciones tácitas generales podemos suponer, creo, que Frege estaba inspirado en el neokantismo de su época, de donde tomó tanto su antinaturalismo, en particular su antipsicologismo, como el rechazo del mundo separado en fenómenon y noumenon. Hasta donde sé, estos son puntos de vista que Frege jamás discute en ninguno de sus escritos. Lo que Frege rechaza explícitamente es una teoría de conocimiento idealista, con lo que se refiere, supongo, a lo que quedó en la Alemania de su época del hegelianismo.

Como se sabe y es evidente, pues Frege lo comenta explícitamente, la idea de la conceptografía está inspirado en Leibniz, pero aparte de la idea de diseñar un simbolismo ideal para la lógica, tampoco de Leibniz tomó ningún elemento de su filosofía. Hablando de ‘conceptografía’, Frege no estaba muy satisfecho con el nombre que dio a su lenguaje simbólico. Así dice en sus “Apuntes para Ludwig Darmstaedter” de 1919:

“En investigaciones de esta naturaleza la imperfección lógica del lenguaje estorbaba. Buscaba el remedio en mi Conceptografía. Así llegué de las matemáticas a la lógica. Lo particular de mi concepción de la lógica se caracteriza, en primer lugar, porque coloco en la punta el contenido de la palabra “verdadero”, y luego porque hago seguir inmediatamente el pensamiento como aquello que es lo que en realidad puede estar en cuestión en cuanto al ser verdadero. Es decir, yo no parto de los conceptos y compongo de ellos el pensamiento o el juicio, sino que obtengo las partes del pensamiento por medio de la descomposición del pensamiento. Esto es lo que distingue mi Conceptografía de creaciones similares de Leibniz y de sus sucesores, aunque quizá el nombre elegido no haya sido muy afortunado.”

La selección del nombre no es afortunado, porque el lenguaje simbólico tiene por objetos no a los conceptos, sino a los pensamientos. Acto seguido Frege dice algo que nos puede servir también en nuestras consideraciones:

“La verdad no es parte del pensamiento. Se puede captar un pensamiento sin por ello aceptar su verdad, i.e., sin juzgar. Tanto la captación de un pensamiento como el juicio son actos de los que se reconoce que deben asignarse a la psicología. Pero ambos actos abarcan algo que no pertenece a la psicología, a saber, el pensamiento.”

Porque mientras aprehender un pensamiento es un acto psicológico, el pensamiento mismo es objetivo. No importa cuál fue la mente que llevó la mano para escribir “2 +  3 = 5” en el pizarrón; el pensamiento que esta oración expresa es tan objetiva como el pensamiento que esta oración es verdadera.

Estamos preparando el terreno para tratar de entender la pregunta ‘¿qué es un sentido?’.

# 0024

El resto de la ponencia de Dummett trata de reconciliar la supuesta teoría de significado de Frege y sus imperfecciones con una teoría de significado inspirado en Russell y, aunque este intento tiene su interés propio, es irrelevante para nuestra pregunta acerca de la ontología que sostiene la construcción de sistema de Frege ya que presupone una postura ontológica que tiene que ser puesta a prueba; como se adivinará de las “comillas de espanto” que usé cuando hablé de la “ontología” de Frege, se adivinará que pienso que Frege no requiere ninguna ontología en el sentido de Dummett para la construcción de su sistema.

En pocas palabras, la cosa es sencilla: el nexo entre la experiencia y las oraciones es que la experiencia sea verdadera. Pero la verdad de las oraciones en cuanto a su contenido de experiencia no es algo que la lógica podría resolver. Tenemos que saber, antes de empezar con la lógica, qué es eso: que una oración sea verdadera; y no hay ninguna posibilidad de definir qué este ser verdadero sea. Es lo único que un constructor del sistema de la ciencia tiene que conocer en cuanto a la estructura del sistema. Por esto Frege no requiere ninguna ontología en el sentido de Dummett. Por esto, la construcción del sistema parte de dos objetos que se dan por supuesto: lo verdadero y lo falso.

Desde luego es posible decir que lo verdadero y lo falso también constituyen una ontología. El asunto es de hecho más complicado de lo que traté de pintarlo en el párrafo anterior y necesitamos explorar algunos detalles para resolver la pregunta que nos hicimos: en el mundo de funciones y argumentos ¿qué hacer con nociones como ‘sentido’?

Para adentrarnos en la exploración de los supuestos ontológicos de Frege necesitamos hacer algunas distinciones que Dummett pasa por alto en la ponencia en cuestión: la distinción que hace entre realidad, objetividad y existencia. El realismo platónico que frecuentemente se le adscribe a Frege vive muchas veces de que ignora estas distinciones.

Para introducirnos a la cuestión citaré un párrafo del libro de Hans Sluga, Gottlob Frege:

“Se tiene que tener en mente que la noción fregeana [de existencia como concepto de segundo nivel] es comparativamente delgada en cuanto a contenido. Decir que algo existe es, según Frege, ni más ni menos que decir que hay ejemplos de un concepto o que el concepto se puede predicar verdaderamente de un objeto.” Por ejemplo, en el diálogo con Pünjer sobre la existencia, escrito no publicado en vida, Frege expresa que el predicado ‘existe’ es reemplazable con ‘es igual a sí mismo’ sin cambiar el sentido de la oración en que ocurre. Es por ello, que ‘existir’ no es, realmente, un predicado, porque no restringe en nada lo que cae bajo él. Un poco más adelante, Frege concluye acerca de la cuestión de lo que es: “Cuando los filósofos hablan del ‘ser absoluto’ no es otra cosa que una divinización de la cópula.” Hay que aplicar cierta precaución en la interpretación de esto, ya que al redactar el protocolo del diálogo y su epílogo, Frege aún no había avanzado a la distinción entre sentido y significado. Continúo la traducción del párrafo del libro de Sluga: “Frege distingue por ello la existencia en su sentido de lo real. Mientras que la existencia para él es un concepto de segundo nivel, la realidad él la toma como un predicado de primer nivel, un predicado de objetos. Decir que algo es real es decir que existe en un campo espaciotemporal y que entra en cadenas causales. ... Para Frege, lo que es real tiene que contrastarse con lo que es objetivo pero que no es real. Las cosas de las cuales la lógica trata se caracterizan por ser objetivamente irreales. El objetivo de la lógica no es la investigación de la noción de realidad, sino de la existencia y de la objetividad. De esto sigue, entonces, que no todo lo que los filósofos discuten bajo el título de la ontología es parte de la materia que ocupa Frege.” (p. 90)

Sluga admite que es posible leer a Frege como teniendo una postura ontológica platonista, pero él opta por leer su teoría de objetividad en un sentido kantiano. Al final del pasaje en cuestión Sluga especula (p. 107) que si Frege puede ser catalogado como realista, es una forma de realismo que “no es incompatible con el idealismo: es en sí mismo una forma de idealismo.”

Después de estas excavaciones en las entrañas del pensamiento de Frege, trataremos de acercarnos a las preguntas concretas que siguen sin respuesta, como ¿qué clase de animal es un sentido de una expresión?

# 0023

El erudito que más frecuentemente se asocia con el estudio de Frege es Michael Dummett sin lugar a duda. Si se le ocurre a alguien, como sucede a mí, a cultivar dudas acerca de que la recepción de la filosofía de Frege en la corriente principal de la filosofía analítica (si algo así realmente existe), no es posible evadir las propuestas de Dummett. Me parece que es un buen punto de arranque si queremos entender la “ontología” de Frege, en el sentido al que aludí en el mensaje anterior, que empecemos por hacer algunas observaciones sobre la ponencia de Dummett en 1993 en Jena, de la que ya hemos citado algunos mensajes atrás.

El propio Dummett piensa de esta ponencia como de una ruptura más bien radical con algunos puntos de vista que él había sostenido todavía poco antes (por ejemplo en su libro Frege, Philosophy of Mathematics publicado en 1991, en particular en los capítulos 16 “The Context Principle” y 17 “The Context Principle in Grundgesetze”); pero a mí me parece que el sigue manteniendo unas posturas, sobre todo acerca de la intención de Frege de proponer una teoría semántica, que inducen una interpretación de los objetivos de Frege demasiado coloreadas por desarrollos posteriores en la filosofía analítica y ajenas al pensamiento de Frege. Aunque en la ponencia Dummett pone cierta distancia entre su nueva lectura del Principio de Contexto y una teoría semántica Russelliana inspirada en la teoría de las descripciones, trata el problema de Frege esencialmente como problema de teoría semántica a la luz de los supuestos que subyacen, por ejemplo, a la teoría de las descripciones. Yo creo que esto es un error fundamental si queremos entender las intenciones de Frege.

En la primera parte de la ponencia que aquí nos interesa, Dummett nos introduce al principio de contexto en Grundlagen, diciendo que sirve dos propósitos: el principio de contexto “sirve para conducirnos a las condiciones de verdad que una definición explícita correcta del operador cardinal tiene que cumplir.” En particular buscamos la manera de enunciar las condiciones de verdad de enunciados de identidad que conectan los términos de números cardinales. Una definición correcta del operador de cardinalidad es, entonces, que esta condición de verdad sea derivable de ella. No nos vamos a entretener por el momento con esto. Lo que importa es el segundo punto:

“El principio de contexto sirve también para proveer una respuesta a la pregunta ‘¿Cómo se nos dan los números?’. La pregunta está formulada en términos kantianos, pero no es puramente epistemológica. Si ya hubiera claridad de que tales objetos como números existen, sería apropiado preguntar cómo es que sabemos de ellos; pero en este momento Frege todavía tiene que etablecer que hay tales objetos y, por consiguiente, la pregunta es tanto de naturaleza ontológica como epistemológica. ¿Cómo, entonces, se puede usar el principio de contexto para contestarla? ... Frege trata como iguales la pregunta acerca de los números cardinales con la pregunta acerca del contenido de términos para tales números. Su respuesta a la pregunta kantiana de esta manera es que se nos dan los números al aprehender los sentidos de oraciones conteniendo términos para números.”  Y mientras Dummett piensa que el primer papel del principio de contexto que Frege le asigna en Grundlagen no es problemático, el segundo es, al menos, discutible. Seguiremos la discusión que Dummett hace de este segundo papel del principio de contexto.

Pero antes de iniciar esta discusión propiamente hablando, Dummett hace una evaluación de la introducción de la distinción entre sentido y significado después de 1890. Dummett dice al respecto: “...Frege no únicamente distinguió entre Sinn y Bedeutung, pero diseñó a partir de estas nociones una teoría articulada que resultó en la primera teoría seria de significado en la historia de la filosofía”, aunque no es habitual, como Frege lo hizo, hacer esta distinción para términos singulares en general. Dummett luego procede a describir brevemente la diferencia entre una teoría esencialmente russelliana y la supuesta teoría semántica de Frege. Pero luego concede que aplicar esta evaluación “sin duda correcta” de la contribución de la teoría sobre Sinn y Bedeutung de Frege a la filosofía no puede tomarse como la vía en que el propio Frege llegó a establecerla, ya que “En ningún momento... Frege... hizo la distinción, ni siquiera para descripciones definitas, que nos parece tan obvia, entre sus significados y los objetos para los cuales se usan para referir a ellos.” Dummett piensa de esto como de un defecto grave que se corrigió sólo después de 1885: “En el período en que [Frege] escribió Grundlagen, él insistió en una distinción firme entre el signo y la cosa que significa, una distinción gravemente borrosa en Begriffsschrift; pero todavía estaba totalmente insensible a la distinición entre el significado de una expresión y la cosa que significa. Ambos se confunden en una noción única no diferenciada de Inhalt [contenido].”

Parece que la pregunta kantiana se nos escurrió entre los dedos y tratamos de contestar una pregunta muy diferente, que Frege seguramente no se pudo haber preguntado: ¿cómo conciliar la supuesta teoría semántica de Frege con lo que un filósofo analítico piensa que obviamente debe ser el marco de una teoría semántica.

Tendremos más que decir sobre esta discusión, apenas iniciada. Para concluir esta remesa quiero hacer referencia a un seminario de Master que en estos días se da en la Universidad de Valencia. En la bibliografía básica del seminario se hace referencia al ensayo “Sobre sentido y significado” de Frege; desde luego aplaudo esta traducción del título, que desafortunadamente sigue siendo la excepción:

https://mpfcuv.wordpress.com/2015/02/02/seminario-de-investigacion-la-recepcion-del-anti-psicologismo-de-frege-en-wittgenstein-nuno-venturinha-2/