# 0027
Quizá sería bueno recordar aquí cómo quedó la relación
entre función, argumento, valor y rango de valor una vez que Frege distingue entre sentido y
significado; recordemos también que esta distinción no existe aún en Fundamentos de la aritmética, que es el
motivo por el cual surge la controversia acerca del principio de contexto y si y de qué manera este principio sigue
vigente después, sobre todo en la construcción del sistema iniciada con GGAI.
Frege establece esta relación en su muy conocida ponencia
“Sobre función y concepto” de 1891, a la cual se refiere Frege también en GGAI
como explicación del uso que él hace de estos términos, y de la cual traduciré
a continuación un breve pasaje (p. 8 a 11):
“Ahora bien,
nosotros llamamos esto, a lo que se complementa la función a través de su
argumento, el valor de la función para este argumento: así 3 es, e.g., el valor
de la función 2 · x2 + x para el argumento 1, ya que tenemos: 2
· 12 + 1 = 3.
...
El método de la
geometría analítica ofrece ahora un método para ilustrarnos los valores de una
función para diferentes argumentos. Al tomar el argumento como valor numérico
de una abscisa y el valor pertinente de la función como valor numérico de la
ordenada de un punto, obtenemos una totalidad de puntos que se muestra a la
vista en los casos usuales en forma de curva. Cada punto de la curva
corresponde un argumento con el valor pertinente de la función.
....
...la curva que
obtenemos de
y = x2 – 4x
es la misma que es
el resultado de
y = x(x
– 4).
Yo enuncio esto así:
la función x(x – 4) tiene el mismo rango de valor que la función x2 – 4x.
Si escribimos
x2 – 4x = x(x – 4)
entonces no hemos
puestas como iguales una función con otra, sino sólo los valores de las
funciones. Y si entendemos esta ecuación de manera tal que debe ser válida sin
importar qué argumento insertamos para x,
entonces hemos expresado de esta manera la generalidad de una ecuación. Pero
podemos decir también en lugar de esto “el rango de valor de la función x(x
– 4) es igual al rango de valor de la función x2 – 4x” y
tenemos aquí entonces una ecuación entre rangos de valor. Ahora bien, que sea
posible tomar la generalidad de una ecuación entre valores de función como
ecuación, a saber, como una ecuación entre rangos de valor, no se puede
demostrar, según creo, sino se tiene que tomar como ley básica de la lógica.”
A continuación Frege introduce la denotación para los
cursos de valor:
ἐ(ε2 - 4ε)
como rango de valor para la función
x2 – 4x.
Armados con una visión más amplia de cuáles son el punto
de vista y la intención de Frege, haremos ahora el intento de avanzar con
nuestra comprensión del contencioso parágrafo 10 de GGAI. Después de demostrar
que el precursor metalógico de la ley fundamental V no determina el significado
de una fórmula, en la cual podría aparecer como argumento un rango de valor, él
continúa:
“Nosotros
podríamos ahora determinar la función Χ(ξ)
de la manera que dijéramos que su valor debería ser lo verdadero para ῆΛ(η)
como argumento y que su valor debería ser ῆΛ(η) para lo verdadero como
argumento; el valor de la función Χ(ξ) debería ser además lo falso para el
argumento ῆΜ(η) y debería ser ῆΜ(η) para lo falso como argumento; para cualquier
otro argumento, el valor de la función Ф(ξ) debería coincidir con éste mismo [argumento].”
Las expresiones ’ῆΛ(η)’
y ‘ῆΜ(η)’ en sí no significan nada.
Frege las usa en lugar de expresiones como “determinado argumento distinto de
un valor de verdad” principalmente para que pueda identificarlos como objetos
distinguibles entre sí para explicar en términos
generales qué es lo que va a hacer. En el argumento hasta aquí Frege estableció
que las reglas de la conceptografía no
determinan del todo el significado de los rangos de valor. Que entonces es
libre de hacer las determinaciones que se necesitan (para cada nueva función
que se introduce en la conceptografía)
para evitar un vacío de determinación, sin riesgo de que estas nuevas determinaciones
causen algún conflicto con las ya existentes.
Y ahorita, entonces, Frege pasa a la tercera etapa del
argumento y determina el significado que las tres funciones introducidos hasta
ahora adquieren si como argumento se combina con la función un rango de valor
para darnos el valor de tal función; y qué valor obtendrá la función con algún
otro objeto como argumento que a estas alturas todavía no se introduce en la conceptografía.
Las posibilidades son estas:
1. En Χ(ξ) ‘ξ’ se toma como ’ῆΛ(η)’; de acuerdo a lo que determinará
en las siguientes líneas del § 10, esto ha de dar el valor ‘lo verdadero’.
2. En Χ(ξ) ‘ξ’ se toma como lo verdadero;
entonces en las mismas circunstancias, esto nos dará el valor ῆΛ(η).
3. En Χ(ξ) ‘ξ’ se toma como algún otro
argumento. Entonces, si nada más cambia, el valor que esto nos da es este mismo
argumento.
Esta determinación determina, entonces, para cuál función
el rango de valor es lo verdadero y para cuál argumento el valor de la función
siempre es lo verdadero. Se determinan aquí las características tanto de la función como del rango de valor: para cuál función el rango de valor es lo verdadero, de tal
manera, que se cumple con esta determinación (Y lo análogo vale para la
relación de la función y su rango de valor que dan como valor de verdad siempre
lo falso; que Frege hable una vez de 'Χ(ξ)' y la otra de 'Ф(ξ)' no tiene importancia, aunque supongo que es un descuido, ya sea del propio Frege o del editor).
Frege no tiene que buscar mucho para encontrar una
función y su rango de valor que cumplen y repito el pasaje que ya vimos hace
algunos días:
“Es decir, sin
causar ninguna contradicción con nuestra identidad de
‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’
con ‘-a-Ф(a) = Ψ(a)’ es siempre posible determinar que un rango de valor arbitrario debería
ser lo verdadero y un rango de valor arbitrario diferente, lo falso.
¡Determinemos entonces que ἐ(__ε) debería ser lo verdadero y que ἐ(ε = (┬-a-a = a)) lo falso!
ἐ(__ε) es el rango de
valor de la función __ξ cuyo valor es lo verdadero, si el argumento es lo
verdadero y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las
funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor y este
es, de conformidad con nuestra estipulación, lo verdadero. Por consiguiente, __ἐФ(ε) es lo verdadero únicamente si la función
Ф(ξ) es un concepto, bajo el cual cae únicamente lo verdadero; en todos los
demás casos __ ἐФ(ε)
es lo falso. Además, ἐ(ε = (┬-a-a = a)) es el rango de valor
de la función ξ = (┬-a-a = a) cuyo valor es lo
verdadero únicamente si el argumento es lo falso, y cuyo valor es lo falso para
todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido
tienen el mismo rango de valor, y este es, de acuerdo a nuestra estipulación,
lo falso. Todo concepto, entonces bajo el cual cae lo falso y solo éste tiene
como extensión de concepto, lo falso.”
Supongo que estamos cerca de concluir nuestras reflexiones sobre el parágrafo 10 del tomo I de Leyes fundamentales de la aritmética.
La forma de la determinación es similar a la que Frege
usa en el siguiente parágrafo, apelando allí tácitamente a la libertad (y
necesidad) de determinar el valor de una función a la hora de introducirla,
donde introduce mediante la expresión ‘\ξ’ un caso especial de una función
involucrando rangos de valor, distinguiendo dos casos:
“1. si hay para el
argumento un objeto Δ de modo tal que
ἐ(Δ = ε) es el argumento, entonces el
valor de la función \ξ debe ser Δ
mismo;
2. si no hay ningún
objeto Δ para el argumento de modo
tal que el argumento sea ἐ(Δ = ε),
entonces el argumento mismo sea el valor de la función \ξ.
De acuerdo a esto, \ξ(Δ = ε) = Δ significa lo verdadero y \ἐФ(ε) significa entonces el objeto que
cae bajo el concepto Ф(ξ), si Ф(ξ) es un concepto bajo el cual cae un
objeto, y sólo un objeto; en todos los demás casos, ‘\ἐФ(ε)’ significa lo mismo que ‘ἐФ(ε)’.”
Supongo que estamos cerca de concluir nuestras reflexiones sobre el parágrafo 10 del tomo I de Leyes fundamentales de la aritmética.
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