# 0044 Desviación: “barra de contenido” vs. “horizontal” (continuación)

Regresemos a nuestras observaciones sobre la diferencia entre la barra de contenido y la barra horizontal.

Frege introduce en 1878 el signo

|^_____A

como el juicio de que lo que los nombres representados por ‘A’ expresen es la representación de un hecho. Creo que se puede decir que este signo complejo es el signo por excelencia de la conceptografía; en parte al menos, porque su explicación procede como casi todo en la filosofía de lógica de Frege: vía análisis, descomposición o negación; como se quiera decir. Frege tenía buenos conocimientos químicos, parece, y muchos de sus ejemplos los toma de la química. Sobre todo parece ocasionalmente ser ella, más que la matemática, su paradigma de modelo científico para descubrir los signos primitivos que necesitamos para la construcción de un sistema de ciencia.

‘|^_____A’ (nos hemos de imaginar que la barra horizontal se conecta sin interrupción con la barra vertical) aparece exactamente en esta misma forma en la conceptografía de 1893, aunque la explicación cambia. Lo que no cambia, sin embargo, es que es, según me parece, el signo paradigmático de la visión fregeana de la lógica y de un lenguaje que idealmente cumple las condiciones para construir con él el sistema de la ciencia. Es un signo complejo cuyas partes se tienen que explicar a partir del conjunto que forman; lo complejo es la base explicativa de lo simple. Si es correcto lo que digo, entonces es claro que, en este sentido, la filosofía de lógica de Frege es lo opuesto de la filosofía del atomismo lógico de Russell y Wittgenstein.

‘|^_____A’, según la explicación de 1878, es entonces un juicio en un sentido reminiscente, al menos, de Kant. En el caso de la identidad, por ejemplo, Frege dice un par de páginas después de introducir el signo de juicio: “... el juicio que tiene por objeto la igualdad de contenido es sintético en sentido kantiano.”*) Si de este signo complejo eliminamos la barra vertical, que Frege llama la barra de juicio, y que indica que todo el signo complejo representa un hecho, entonces se tiene meramente una representación, sin el juicio que esta sea la representación de un hecho. Si esta representación es un hecho o no, depende todavía de algo externo a la propia presentación, e.g. de algún juicio.

‘A’ representa cualquier otro signo o grupo de signos de la propia conceptografía. En este sentido es diferente de ‘|’ y de ‘^___’, que son directamente signos de la conceptografía. Quizá sea esta mezcla de signos la que Dummett induce a decir que Frege en 1878 estaba profundamente confuso acerca de signo y designado. Sea esto como sea, lo anteriormente dicho es todo lo que podemos saber sobre el signo ‘^___’, la barra de contenido: es lo que convierte los signos representados por ‘A’ en un contenido juzgable, si estos signos se prestan para ser convertidos en contenido juzgable. ‘^___A’ no puede denotar, e.g., la representación ‘casa’:

La barra horizontal, a partir de la cual se forma el símbolo ‘|^___A’, combina en un todo los símbolos que le siguen, y a este todo se refiere la afirmación expresada por la barra vertical en el extremo izquierdo de la horizontal. A la barra horizontal se le puede llamar barra del contenido; a la vertical, barra del juicio. La barra del contenido sirve también, además, para poner en relación cualquier símbolo con el todo de símbolos que sigue a la barra. Lo que sigue a la barra del contenido debe tener siempre un contenido judicable.*)

También aquí la influencia de Kant y su unidad de pensamiento parecen evidentes en la expresión “combinan en tu todo los símbolos que le siguen”, y, efectivamente, este todo Frege después lo llamará un pensamiento.

*) Traducción de H. Padilla: Gottlob Frege; Conceptografía * Los fundamentos de La aritmética * Otros estudios filosóficos; traducción de Hugo Padilla; Universidad Nacional Autónoma de México; Instituto de Investigaciones Filosóficas; México; 1972

Aside:

I need some time to think in order to continue the series of posts about 'sense' in § 32 of Grundgesetze, something I don´t have these days. However, I will quote a famous letter here from Wittgenstein to Moore (for which he later apologized); contrary to Prof. McGuiness, I think Wittgenstein was essentially right, and that we need more of his spirit to put more philosophy into today's "philosophy" departments. This comes, incidentally, of course, as I'm currently struggling with some of the more stringent procedural requirements of my own, that are in place nowadays:


"May 7, '14

Dear Moore,

Your letter annoyed me. When I wrote Logik I didn't consult the Regulations, and therefore I think it would only be fair if you gave me my degree without consulting them so much either! As to a Preface and Notes; I think my examiners will easily see how much I have cribbed from Bosanquet. - If I'm not worth your making an exception for me even in some STUPID details then I may as well got to Hell directly; and if I am worth it and you don't do it then - by God - you might go there.

The whole business is too stupid and too beastly to go on writing about it so -

L.W."

# 0043 Desviación: “barra de contenido” vs. “horizontal” (continuación)

En 1878, Frege ejemplifica ‘^_____A’ como: "los polos magnéticos opuestos se atraen" y ‘├^_____A’ como: “es un hecho que los polos magnéticos opuestos se atraen.”

Citamos la opinión de Dummett, creo,*) que Frege no distinguía en su primera conceptografía claramente entre el signo y lo designado, y que esta confusión se corregía a partir de 1891, más o menos, mediante la distinción entre ‘sentido’ y ‘significado’. Pero como es obvio del mensaje anterior (# 0042) y de este ejemplo, esto no es lo único que cambia del uso que Frege hace de estos signos en la primera conceptografía a como los usa en GGA I. Pues Frege habla aquí de juicios y de hechos, 'verdadero' parece ser una propiedad de los juicios y en ningún lado se habla de objetos que pueden entrar como argumento en un concepto para producir un pensamiento que significa e.g. lo verdadero.

Al sugerir que sería conveniente observar qué es lo que cambia aquí, mi primera intención era hacernos de una base más amplia para entender lo que Frege dice en el § 32 de Grundgesetze I. Pero en realidad, esto es un tema que en sí amerita una discusión tan amplia, por lo menos, como la que motivó esta desviación en primer lugar. Creo, sin embargo, que es algo que vale la pena discutir, aunque signifique alargar este hilo de discusión mucho más de lo previsto en un principio.

En el fondo estoy muy de acuerdo con Michael Dummett cuando se queja de las controversias exegéticas que la obra de Frege generó más o menos a partir de 1980: “No hay autor filosófico que puede haber merecido menos esta suerte, tan grande es la claridad de su estilo y los esfuerzos que hizo para ser explícito”**) aunque requiere entonces alguna explicación por qué él mismo tiene tantos problemas para dar cuenta de algunos aspectos de la obra de Frege; también debo añadir, entonces, que estoy totalmente convencido de que estas explicaciones pueden efectiva darse y que tienen que ver con las distorsiones de algunas perspectivas históricas inherentes al punto de vista de la misma filosofía que Frege ayudó a traer al mundo, y de la cual Dummett es un miembro y defensor tan ferviente.

Aprovecharé para citar un pasaje más que sigue casi inmediatamente a lo que acabo de citar, porque es algo que yo también creo y que, pienso, amerita mucha más consideración en nuestras reflexiones sobre filosofía de lenguaje de la que usualmente parece fluir de la vasta mayoría de las publicaciones sobre este tema (incluyendo algunos comentarios del propio Dummett):

“Frege es un autor tan interesante porque nosotros avanzamos tan poco, comparativamente, del punto que él alcanzó. Para ser más exacto, enviamos nuestras vanguardias mucho más allá de ese punto, pero aseguramos muy poco territorio adicional. En particular Wittgenstein hizo excursiones muy audaces a tierras desconocidas, pero aún estamos luchando con su obra, la cual no hemos aprehendida aún y no la podemos evaluar apropiadamente. Los problemas de Frege, por consiguiente, aún son los problemas nuestros; sus pensamientos aún responden a nuestros intereses. Su obra era profunda y recompensa la reflexión pertinaz que puede discernir aspectos nuevos y descubrir conexiones nuevas.“**)

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*) Veo que ya es urgente hacer el índice de mensajes; no pude avanzar significativamente con esto todavía.

**) La obra a que Dummett se refiere es: Baker, G. P. and Hacker, P.M.S.; Frege: Logical Excavations; Oxford University Press, New York; Basil Blackwell, Oxford; 1984; las citas son de: Dummett, M.; “An Unsuccessful Dig“ publicado en: el mismo; Frege and Other Philosophers; Clarendon; Oxford; 1991;  p. 158 s.

# 0042 Desviación: “barra de contenido” vs. “horizontal”

Se me ocurre que podría ser provechoso explorar un poco más de cerca la diferencia entre la barra de contenido (juzgable) de la Conceptografía de 1879, y la horizontal de Leyes fundamentales de la aritmética. Nos hemos contentado hasta ahora con que la diferencia se debe a la introducción de la distinción entre sentido y significado, y que, por lo tanto, hablar de contenido para referirse al significado de la barra horizontal no bastaría para saber si lo que simboliza es el sentido, el significado o ambas nociones cuando se usa en combinación con otro signo u otros signos.

Mientras lo anterior es correcto a grandes rasgos, es claro también que esta caracterización no revela a detalle la diferencia de uso entre la conceptografía de 1879 y la de 1893 y yo creo que ver la diferencia más detalladamente nos podría ser bastante útil para acercarnos a una comprensión de lo que Frege dice en GGA I § 32 sobre el sentido de las oraciones.

Para empezar, citaré la explicación pertinente de la Conceptografía en la traducción de Hugo Padilla*):

“§ 2. Un juicio se expresará siempre por medio del símbolo

├^_____,

colocado a la izquierda de los símbolos o combinaciones de símbolos que indican el contenido del juicio. Si se omite la pequeña barra vertical en el extremo izquierdo de la horizontal, esto transforma el juicio en una mera combinación de ideas acerca de la cual no expresa, quien la escribe, si reconoce o no verdad en ella. Por ejemplo, hagamos que

├^_____A

signifique el juicio: "los polos magnéticos opuestos se atraen"; entonces,

^____A

no expresará este juicio, sino que únicamente ha de provocar en el lector la representación de “la atracción recíproca de los polos opuestos”, para eventualmente sacar consecuencias de esto y, con ellas, probar la corrección de la idea. En este caso, parafraseamos por medio de las palabras "la circunstancia de que" o "la proposición de que".

...

La barra horizontal, a partir de la cual se forma el símbolo ├^_____, combina en un todo los símbolos que le siguen, y a este todo se refiere la afirmación expresada por la barra vertical en el extremo izquierdo de la horizontal. A la barra horizontal se le puede llamar barra del contenido; a la vertical, barra del juicio. La barra del contenido sirve también, además, para poner en relación cualquier símbolo con el todo de símbolos que sigue a la barra. Lo que sigue a la barra del contenido debe tener siempre un contenido judicable.”

En lo que sigue (el § 3) Frege explica que abandona el análisis habitual de la oración en sujeto y predicado, porque “pronto me persuadí de que esto era contrario a mi propósito y de que sólo conducía a prolijidades inútiles” y describe así el objetivo y los principios que han de guiar la construcción de la conceptografía:

“Cabalmente se expresará todo lo necesario para una inferencia correcta; pero lo que no es necesario, por lo general tampoco se indicará; nada se dejará a la adivinanza. En esto sigo por completo el ejemplo del lenguaje de fórmulas matemático, en el que también sólo forzadamente se puede distinguir entre sujeto y predicado. Se puede imaginar un lenguaje en el cual la proposición: "Arquímedes pereció en la toma de Siracusa", pudiera expresarse de la siguiente manera: "la muerte violenta de Arquímedes en la toma de Siracusa es un hecho". Ciertamente, también aquí se puede, si se quiere, distinguir entre sujeto y predicado, pero el sujeto encierra el contenido completo, y el predicado sólo tiene el propósito de poner a éste como juicio. Un lenguaje así, tendría únicamente un predicado para todos los juicios, a saber, "es un hecho". Se ve que en absoluto puede hablarse aquí de sujeto y predicado en el sentido habitual.

Nuestra conceptografía es un lenguaje así, y el símbolo ├^_____ es, en él, el predicado común para todos los juicios.”

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*) Gottlob Frege; Conceptografía * Los fundamentos de La aritmética * Otros estudios filosóficos; traducción de Hugo Padilla; Universidad Nacional Autónoma de México; Instituto de Investigaciones Filosóficas; México; 1972

# 0041 Continuación: Sobre el sentido de los nombres de la conceptografía

Lo primero que suena extraño, supongo, es esta afirmación de Frege sobre el sentido de las oraciones: “El sentido de este nombre, el pensamiento es éste: que estas condiciones se cumplen.” Pues, lo que se esperaría es que, digamos, el pensamiento de “el lucero del alba es el lucero vespertino” sería justo lo que dice esta oración, entre otras cosas, que estos dos nombres designan un mismo cuerpo celeste. La forma de esta oración en conceptografía se puede representar, aparentemente al menos, por una de las funciones primitivas:

ξ = ζ

Bajo una condición, claro está. Que tenemos cómo introducir un nombre como ‘lucero del alba’ en la conceptografía. Pero sobre esta dificultad no se encuentra ni una sola palabra en toda la obra de Frege, al menos hasta donde yo sé. Lo que quizá sea lo que Christian Thiel invita a decir: “... no se puede uno quitar la impresión de que el ideal de este lenguaje ideal se alejó casi inalcanzablemente de la realidad no sólo del “lenguaje de la vida” sino también del lenguaje de formación cultural y de los lenguajes especializados en los cuales la aseveración, la designación, el ser  verdadero y el tener sentido y significado son entendibles y parecen familiares.”*)

Aunque Frege piensa que los objetos que su lenguaje puede designar eventualmente deben poder incluir objetos como Julio César, el eje de la tierra, Inglaterra y el número cinco, de todos estos es sólo el último para el cual nos da instrucciones como hacerlo. En cuanto a otros objetos Frege es tan silencioso como Wittgenstein acerca de los suyos en el Tractatus y el motivo también tiene algo de parecido: cómo nosotros aprehendemos los objetos de la experiencia es un problema que la psicología ha de resolver y no es cuestión de la lógica. Lo que, una vez más, parece hablar contra la noción de Dummett de que Frege estaba desarrollando una teoría semántica... pero ya no diré más sobre este tema.

En lo que sigue nos limitaremos, entonces, a entender las implicaciones de lo que Frege dice en el § 32 para sentido y significado de las oraciones de la conceptografía hasta dónde él construyó a ésta explícitamente.

Cada oración de la conceptografía consiste de la barra de juicio, dice Frege, y de un nombre de un valor de verdad. Por ejemplo (aprendí, mientras tanto, cómo hacer mis propios símbolos en Windows. Es bastante fácil):

‘├(a)’

Esta sería la conversión de

‘├a’

donde ‘a’ es una marca latina de un valor de verdad.

Se me acabó el tiempo. Continuaremos mañana, en lo posible.

*) Thiel, Chr.; “Nicht aufs Gerathewohl und aus Neuerungssucht” en Logik und Mathematik; Frege-Kolloquium Jena 1993; ed. Ingolf Max, Werner Stelzner; Walter de Gruyter; Berlin, New York; 1995; p. 30.

# 0040 Sobre el sentido de los nombres de la conceptografía (§ 32 GGA I)

Lo que, en propias palabras de Frege, lo obligó a desechar el primer intento de ejecutar el programa, anunciado en Grundlagen, de formular las leyes fundamentales de la aritmética, era que no había distinguido entre el pensamiento y su significado, ni que tampoco había descubierto que lo que normalmente es el sentido de una oración, el pensamiento que expresa, se convierte en su significado cuando ocurre dentro de otra oración:

“... En este caso, el sentido de la oración es el pensamiento, y su significado es su valor de verdad. A esto se añade todavía el reconocimiento que el valor de verdad sea lo verdadero, ya que yo distingo dos valores de verdad: lo verdadero y lo falso. ... Aquí meramente quiero mencionar que la oración indirecta sólo así puede aprehenderse correctamente. Es que el pensamiento, que de otra manera es el sentido de la oración, se convierte en la oración indirecta en su significado. Cuánto más simple u nítido todo se vuelve gracias a la introducción de los valores de verdad sólo la ocupación intensa con este libro puede enseñar.”

En “Sobre sentido y significado” Frege ilustra este descubrimiento con material que tiene a la mano – i.e., ejemplos tomados del lenguaje natural. Pero la importancia científica para Frege la adquiere este descubrimiento en la construcción sistemática de la ciencia, y la relación entre esta y el lenguaje natural para Frege es, que aquella requiere un lenguaje ideal que supera las ambigüedades y ficciones que surgen con el uso de éste.

Ahora nos queda quizá una duda: mientras que el sentido de una oración es algo que comúnmente cualquiera entiende que está familiarizado con el sistema de signos que se usa para formular la oración, en el § 32 Frege define el sentido de los nombres primitivos de manera más específica y restrictiva:

“Pero no sólo un significado, sino también un sentido corresponden a todos los nombres, formados correctamente de nuestros signos. Cada nombre de un valor de verdad así expresa un sentido, un pensamiento. Es que, por medio de nuestras estipulaciones queda determinado en cuales condiciones el mismo significa lo verdadero. El sentido de este nombre, el pensamiento es éste: que estas condiciones se cumplen.”

En otras palabras, cada oración verdadera es un nombre de lo verdadero y expresa el pensamiento de que es un nombre legítimo, condición necesaria y suficiente, de acuerdo a Frege, para que sea un nombre de lo verdadero.

Creo que conviene reproducir aquí el resto del § 32 y la explicación que Frege da de la relación entre la oración como nombre de lo verdadero y sus sentido:

“Una oración de la conceptografía consiste ahora de la barra de juicio y de un nombre o de una marca latina de un valor de verdad. Tal marca se convierte, sin embargo, en el nombre de un valor de verdad mediante la introducción de letras alemanas en lugar de latinas anteponiendo cavidades según el § 17. Imaginémoslo realizado, entonces tenemos únicamente el caso de que la oración se compone de la barra del juicio y de un nombre de un valor de verdad. Por medio de tal oración se asevera ahora que este nombre significa lo verdadero. Puesto que al mismo tiempo expresa un pensamiento, entonces tenemos en cada oración de la conceptografía legalmente formado un juicio, de que un pensamiento es verdadero; y entonces ya no es posible que falte un pensamiento. ...

Ahora bien, los nombres simples o los que a su vez están compuestos, de los cuales consiste el nombre de un valor de verdad, contribuyen a expresar el pensamiento, y esta contribución es su sentido. Si un nombre es parte del nombre de un valor de verdad, entonces el sentido de aquel nombre es parte del pensamiento que éste expresa.”

Necesitaremos reflexionar un poco sobre esto, creo.

# 0039

Se me ocurrió que podría ser una buena idea producir un índice de tópicos de los mensajes y eventualmente también de los cabos sueltos que dejé en el camino. Ya empecé a hacerlo y espero publicarlo aquí pronto.

Mientras tanto, sin embargo, quiero continuar nuestra reflexión acerca de si la introducción de la distinción entre sentido y significado puede obedecer a una preocupación con teorías semánticas, como sugieren e.g. Dummett y Kripke, y que para ser consistente ‘sentido’, tal como lo usa Frege, realmente corresponde a lo que Russell llama ‘meaning’ o ‘significado’; que por lo tanto produce confusiones excesivas traducir ‘Bedeutung’, tal como lo usa Frege, con ese mismo término (i.e, ‘significado’], y que además corresponde mucho mejor a una teoría semántica aceptable si entendemos este término como ‘indication’ o ‘reference’ o ‘referent’ o alguna otra de las traducciones que se han sugerido. Hemos visto, que el artículo “Sobre sentido y significado” realmente parece sugerir una preocupación de Frege que sus sugerencias sean coherentes con una posible teoría semántica.

En cambio, yo creo que hay razones más poderosas para pensar que esto no es el motivo principal que Frege tenía para introducir la distinción que nos ocupa. Una de ellas es, que si “Sobre sentido y significado” es un esbozo de una teoría de significado, sería un esbozo extremadamente pobre y violaría la primera exigencia que Frege hace a una teoría: carece totalmente de sistematicidad. Desde este punto de vista es obvio que Frege en este ensayo meramente trata de hacer entendible a través de ejemplos y alegorías lo que no puede ser explicado de manera directa: el uso que él hace de los términos ‘sentido’ y ‘significado’ en la construcción del sistema científico, en particular para trazar las leyes fundamentales de la aritmética.

“Sobre sentido y significado” no es donde Frege introduce por primera vez esta distinción en público. Lo hace, más bien, en “Sobre función y concepto”, ponencia de enero de 1891, un año antes que “Sobre sentido y significado”.  Hacia el final de la página 13, después de decir que

(2² = 4) = (2 > 1)

es una ecuación correcta, Frege dice lo siguiente:

“Se nos ocurre fácilmente la objeción de que ‘2² = 4’ y ‘2 > 1’ dicen algo totalmente diferente, que expresan pensamientos diferentes; pero también ‘2⁴ = 4²’ y ‘4 · 4 = 4²’ expresan diferentes pensamientos; y se puede reemplazar, sin embargo, ‘2⁴’ por ‘4 · 4’, porque los dos signos tienen el mismo significado. Por consiguiente, también ‘2⁴ = 4²’ y ‘4 · 4’ tienen el mismo significado. Esto nos hace ver que la igualdad de significado no tiene por consecuencia la igualdad de pensamientos.”

Como sabemos de nuestras consideraciones a lo largo de las contribuciones anteriores, lo que expresa un concepto como ‘ξ = ζ’ es la identidad de objetos, y su valor es lo verdadero, si los objetos nombrados son idénticos. Pero esta identidad no establece ninguna restricción en cuanto a los pensamientos involucrados.

Hay otro pasaje más que nos parece señalar que consideraciones de teoría semántica no eran los que invitaron a Frege a abandonar la noción de ‘contenido juzgable’ y que nos invita a nosotros a reflexionar acerca del problema que Frege superó en su construcción de sistema gracias a la introducción de la distinción entre ‘sentido’ y ‘significado’. Ocurre en el prefacio de Grundgesetze y ya lo hemos citado; lo cito aquí de nuevo:

“Estos [cambios] son las consecuencias de un desarrollo que intervino en mis puntos de vista de la lógica. Yo antes había distinguido dos cosas en lo que, en su forma exterior, es una oración afirmativa: 1) el reconocimiento de la verdad, 2) el contenido que es reconocido como verdadero. El contenido, yo lo llamaba, contenido juzgable. Éste se me descompuso ahora en lo que llamo el pensamiento, y aquello que llamo el valor de verdad. Esta es la consecuencia de la distinción del sentido y del significado de un signo. En este caso, el sentido de la oración es el pensamiento, y su significado es su valor de verdad. A esto se añade todavía el reconocimiento que el valor de verdad sea lo verdadero, ya que yo distingo dos valores de verdad: lo verdadero y lo falso.”

Esta explicación Frege la introduce con la siguiente observación en la página  (IX) anterior: “La razón por la cual la puesta en práctica [de mis intenciones vislumbradas al redactar Begriffsschrift y Grundlagen der Arithmetik] aparece tan tarde después de anunciarlas, se halla en parte en una transformación interna de la conceptografía que me obligó a desechar una obra manuscrita ya casi totalmente acabada.”

Los progresos, como Frege lo llama, son en resumen estos:

* en lugar de usar tres barras paralelas Frege emplea ahora el signo de igualdad usual en las matemáticas; Frege comenta: “una eventual protesta [contra el uso de ‘igual que’ en el sentido de ‘idéntico que’] se ha de deber a la falta de distinción entre el signo y lo designado” y remite en una nota de pie de página a su ensayo “Sobre sentido y significado”.

* Frege agrega ahora el spiritus lenis como nuevo signo primitivo para designar el rango de valor de una función,

* así como un signo “que debería representar el artículo definido del lenguaje.” También conocemos ya este signo que Frege introduce en el § 11, inmediatamente a continuación del parágrafo que tanto nos ha ocupado aquí.

Para mí, todo lo anterior me parece ser suficiente evidencia que el motivo principal para Frege de romperse la cabeza sobre la distinción entre sentido y significado proviene de su necesidad de construcción de sistema basado en un par de objetos como argumentos primitivos, no definibles: lo verdadero y lo falso. Es entendible que él hubiera creído que, si su sistema ha de funcionar, sería mejor que el uso normal del lenguaje no lo refute y que se pueda ejemplificar mediante el uso normal del lenguaje. Pero también sabemos que esto para él es ningún obstáculo en un caso extremo: si el lenguaje natural contradice sus intuiciones lógicas, en lo que cree es en su sistema lógico, como muestra su explicación, que suena bastante paradójica, que “el concepto ‘caballo’ no es un concepto.”