# 0022

Hasta donde sé, Frege y Russell jamás se vieron, pero hay un intercambio de ideas por carta a ratos bastante intenso que desafortunadamente no se conserva en su totalidad, aunque lo que existe sigue siendo notable. Casi todos los originales del legado de Frege se convirtieron en cenizas en 1945 en el esfuerzo de los americanos de aprovechar los últimos meses de la guerra para regresar a Alemania al paleolítico en el marco del fabuloso “plan Morgenthau” – qué ironía que fue Churchill quien salvó a los alemanes de que se continuara con el plan después de la rendición incondicional de Alemania, habiendo aprobado poco antes perfectamente a propósito la aniquilación de los tesoros barocos y de la población civil en Dresde. No que los nazis no se hubieran ganado este tratamiento de un pueblo que optó mayoritariamente por seguirles a una aventura expansionista inspirado en el excepcionalismo (racista y cultural) alemán; excepcionalismo que al menos en su aspecto cultural los alemanes lo heredaron luego a los vencedores junto con la tecnología de la propulsión a chorro, de cohetes y todo el demás Know-How bélico.

Las cartas que Russell dirigió a Frege y viceversa tratan casi exclusivamente de cuestiones de lógica y jamás exploran los supuestos tácitos de ninguno de ellos. Esto facilitaba que Russell malentendiera totalmente algunos aspectos importantes de los supuestos lógicos de Frege. Me parece, por ejemplo, que Russell supuso que Frege compartía con él no sólo su anti-psicologismo, sino también su anti-kantismo. Pero esto muy claramente no es el caso, aunque la influencia de Kant en el pensamiento de Frege no se señaló con mucha claridad hasta 1980, año en que Hans Sluga publicó su libro Gottlob Frege, que fue atacado inmediatamente con bastante furia sobre todo por Michael Dummett; pero en realidad, todo lo que se argumenta contra Sluga es que no demuestra sus afirmaciones. Me parece que se necesita mucha suerte para demostrar la influencia de ideas antecedentes en el pensamiento de un filósofos; y mientras los relatos de Dummett, Kripke, Baker & Hacker etc. principalmente demuestran las incongruencias en la teoría de Frege a la luz de las perfecciones de la filosofía analítica que navega a la sombra de él, el cuadro que Sluga combina los aspectos de su construcción de sistema y los motivos filosóficos que la sostienen como un puzzle de un paisaje al oleo. A la luz de esto, que la explicación de Sluga no sea servible, pienso, es algo que tendrían que demostrar sus críticos.

Que Russell se equivoca en algunos de sus supuestos, a mi manera de ver, lo demuestra muy claramente la traducción al inglés que él propone para algunas expresiones claves de Frege: ‘Sinn’ lo interpreta como significado (meaning) y ‘Bedeutung’ como referente (‘indication’, pero se impuso posteriormente ‘reference’ o, como Kripke prefiere, ‘referent’). Hay bastantes pasajes en los escritos de Frege que parecen apoyar esta lectura, pero esto, me parece, sólo a la luz de una interpretación que no permite que “sea de otra manera”. En realidad, creo, “la otra manera” es la que es la verdadera en el caso de Frege.

La “ontología” de Frege, si hay tal cosa, se divide on dos grandes dominios: el de los objetos, y el de las funciones. Funciones son entes objetivos que no se sostienen solos: necesitan un complemento para formar un objeto. Objetos, en cambio, son todas las cosas objetivas que no son funciones.

Para el joven Wittgenstein las oraciones representan hechos, pero son ellas mismas, hechos. ¿Cómo está este asunto para Frege?

Si el mundo se divide en objetos y funciones ¿dónde quedan las oraciones? ¿Qué es un sentido? ¿Un objeto o una función?

Mucho me temos que la claridad simple del parágrafo 10 de GGAI que anunciaba al iniciar esta serie de comentarios se nos escurrirá, mientras no aclaremos cuestiones como estas. Tendremos que tomar entonces una desviación más, y sospecho que tendrá que ser más extensa de lo que me imaginaba en un principio.

# 0021

Frege comenta en el preámbulo de Grundgesetze, después de aclarar que este libro es la puesta en práctica de lo concebido en Conceptografía y anunciado en Fundamentos de la aritmética, que él se había visto obligado a abandonar un borrador del libro ya casi terminado a causa de algunos “cambios internos” que sufrió la Conceptografía de 1879. A continuación enumera estos cambios.

Primeramente reemplazó el signo ‘≡’ por el de ‘=’ puesto que se convenció de que éste significa en la aritmética justamente lo que él quiere designar: “Es que yo uso la palabra ‘igual’ con el mismo significado que ‘coincidente con’ o ‘idéntico con’, y es así como el signo de igualdad se usa en realidad en la aritmética.”

Después de explicar por qué las objeciones contra esta percepción del uso en la aritmética se basan en la confusión entre signo y designado, se refiere a la introducción de los rangos de valor en la conceptografía como adición a los signos del simbolismo original. La introducción del signo para rangos de valor no únicamente permite una mayor movilidad para simplificar expresiones derivadas con más brevedad, sino que “tienen una gran importancia fundamental, puesto que defino el número cardinal mismo como la extensión de un concepto, y extensiones de concepto son rangos de valor, de acuerdo a mis estipulaciones. No se podría proceder sin ellos.”

Otro cambio importante que Frege menciona en este pasaje es la interpretación de la barra horizontal que en Conceptografía había llamado la ‘barra de contenido juzgable’ pero que ahora simplemente llama ‘la horizontal’; Frege explica esto así:

“Estos [cambios] son las consecuencias de un desarrollo que intervino en mis puntos de vista de la lógica. Yo antes había distinguido dos cosas en lo que, en su forma exterior, es una oración afirmativa: 1) el reconocimiento de la verdad, 2) el contenido que es reconocido como verdadero. El contenido, yo lo llamaba, contenido juzgable. Éste se me descompuso ahora en lo que llamo el pensamiento, y aquello que llamo el valor de verdad. Esta es la consecuencia de la distinción del sentido y del significado de un signo. En este caso, el sentido de la oración es el pensamiento, y su significado es su valor de verdad. A esto se añade todavía el reconocimiento que el valor de verdad sea lo verdadero, ya que yo distingo dos valores de verdad: lo verdadero y lo falso.”

Después de remitir a su ensayo sobre sentido y significado (el título se reproduce en español usualmente como: “Sobre sentido y referencia”), y haciendo breve mención de la diferencia entre el papel que el pensamiento tiene respecto a la oración cuando se usa y cuando se menciona (oración directa e indirecta, i.e., mientras es el sentido de la oración directa, es su significado en la oración cuando ésta se menciona dentro de otra oración), Frege enfatiza todavía:

“También se caracteriza más nítidamente la esencia de la función a diferencia del objeto que en Conceptografía. De esto resulta además la distinción de las funciones de primer y de segundo nivel. [...] ...conceptos y relaciones son funciones, en un significado de esta palabra ampliado por mí, y por ello tenemos que distinguir también entre conceptos de primer y segundo nivel, relaciones del mismo y de diferentes niveles.”

Creo que ahora podemos regresar a la discusión de los pasajes del parágrafo 10 de GGAI que aún no hemos comentado.

# 0020

Para mi buena suerte, Frege resume él mismo su investigación de la naturaleza de los números cardinales en Grundlagen, por lo que me limitaré a parafrasear la parte en cuestión como lista de enunciados e insertar alguna información complementaria si esto parece ayudar.

1.      El número no es un montón de cosas, ni tampoco ninguna propiedad de tal montón.

2.      El número tampoco es el producto subjetivo de procesos psicológicos.

3.      La indicación de un número enuncia algo objetivo acerca de un concepto.

4.      Resultó que no se puede demostrar la igualdad de números sin definición de 0 y 1 con base en la definición de Leibniz [2 es 1 más 1; 3 es 2 más 1; 4 es 3 más 1).

5.      Para reconocer a números como iguales no se deben tomar como el predicado (e.g., el cielo es azul) sino como el sustantivo [el azul del cielo] de una oración, pero no como objetos físicos ni espaciales y ni siquiera como posibles objetos de la imaginación.

6.      “Nosotros establecimos ahora el principio de que el significado de una palabra no se ha de explicar en aislamiento, sino en el contexto de una oración; sólo la adherencia a este principio permite evadir la concepción fisicalista del número sin caer en la concepción psicológica.”

7.      Hay un tipo de oraciones que tiene que tener sentido para todo objeto: las oraciones de reconocimiento. En el caso de los números, estas oraciones se llaman ecuaciones.

Esto es: el nombre del objeto tiene su significado porque es parte de una oración de reconocimiento, pero porque la palabra es nombre de un objeto, la oración tiene que tener sentido. Es importante tener en cuenta aquí que Frege aún no distinguía entre sentido y significado cuando redactaba este resumen del argumento de Grundlagen. Por esto, el enunciado 6 da lugar a muchas posibles interpretaciones.

8.      Para entender el sentido de una indicación de número, ésta tiene que entenderse como ecuación.

9.      Se tiene que determinar, entonces, el sentido de una ecuación de números sin hacer uso de numerales ni de la palabra “número”.

10.  “La posibilidad de asociar en ambas partes unívocamente los objetos que caen bajo un concepto F con los objetos que caen bajo un concepto G, la reconocimos como el contenido de un juicio de reconocimiento de números.”

11.  “Nuestra definición tenía que explicar esta posibilidad [10.] como sinónima con una ecuación de números.”

12.  Para cumplir el requisito de que se pueda sustituir un lado de la ecuación con el otro conservando el valor de verdad, y para garantizar al mismo tiempo que la oración de reconocimiento tenga un sentido, se propuso como definición: “el número cardinal que pertenece al concepto F es la extensión del concepto ‘concepto equinúmero del concepto F’, designando un concepto F equinúmero con un concepto G si existe la posibilidad mencionada de la asociación unívoca en ambos lados.”

Es decir, un número cardinal se toma como la extensión de un concepto si existe la relación de equinumeralidad con otro concepto, i.e. si los objetos que caen bajo uno y otro concepto pueden asociarse unívocamente en ambas direcciones. Para ilustrarlo, Frege usa el ejemplo de un mesero que pone cubiertos para cada plato en un restaurante. El mesero no tiene que contar los cubiertos (no requiere ningún número), sino basta con que para cada cuchillo haya un tenedor para saber que hay el mismo número de cuchillos y de tenedores. Lo que tienen de igual en todos los casos, sin tomar en cuenta propiedades particulares, es su número.

13.  La asociación unívoca en ambos lados, Frege la explica a partir de relaciones puramente lógicas.

14.  Frege define a continuación el número cardinal 0 y la expresión ‘n sigue en la secuencia de números naturales directamente a m’, así como el número 1, mostrando que 1 sigue directamente a 0 en la secuencia de los números naturales.

Creo que hasta aquí tiene que llegar nuestro resumen de lo que Frege pretende demostrar sobre los números naturales para ubicar el argumento del parágrafo 10 de GGAI. En este punto del libro estamos todavía muy lejos de llegar a intentar la definición de los números cardinales. Lo que nos interesaba saber aquí es el papel de las extensiones de conceptos en este argumento. Puesto que los números son extensiones de conceptos, es claro que Frege tiene que eliminar cualquier duda sobre la relación entre una función y su extensión en la construcción de sus fundamentos de la aritmética.

# 0019

Creo que tendré que hacer explícitas algunas de las suposiciones más que quise dejar tácitas según el mensaje N° 0003 sobre la conceptografía y el logicismo de Frege, postura que en realidad abandoné casi desde el principio.

Supongo que no dije suficiente acerca de la estrategia que Frege adopta para demostrar que los números no son propiedades de objetos (“el color de los ojos y el número de mis hermanos”) en el sentido de predicados – que corresponderían a la parte insaturada de una oración – sino que son objetos acabados que no requieren de ningún complemento para tener significado. Todo esto y más, Frege lo explica en Grundlagen o Fundamentos de la aritmética, y es en el libro cuyo parágrafo 10 del primer tomo estamos discutiendo presentemente que Frege quiere poner en práctica el esbozo presentado allí. La idea de Frege, que los números son objetos lógicos, va contra Kant, y Frege está totalmente consciente de ello, como no deja lugar a dudas en Grundlagen desde sus primeras páginas.

Pero la estructura fundamental del pensamiento de Frege era kantista, algo que sus lectores de extracción analítica suelen pasar por alto. El pensamiento de Frege estaba inspirado en y compartía la lucha de neo-kantistas como Hermann Lotze, Adolf Trendelenburg (de quien probablemente Frege tomó la expresión ‘conceptografía’, aunque el primer uso conocido de la palabra es de Wilhelm von Humboldt, como observa Christian Thiel) y muchos otros contra la tendencia pos-hegeliana de la naturalización y en particular psicologización de los fundamentos de la ciencia, manteniendo en contraposición la inevitabilidad de principios a priori. Si Frege se oponía a Kant, era para corregir aspectos de la filosofía de Kant que requerían corrección de acuerdo a su punto de vista, para poder mantener fundamentalmente los principios a priori en los cuales también él creía. Hacia el fin de su vida y después del colapso del logicismo fregeano a causa del descubrimiento de la paradoja de Russell, Frege intentara una nueva fundamentación de la aritmética, ya sin objetos puramente lógicos, y basada en los objetos de la geometría, tomadas de la intuición, reivindicando así aparentemente la posición original de Kant.

Pero al redactar Grundgesetze Frege todavía estaba convencido de que podía demostrar la fundamentación de la aritmética en objetos lógicos. Su primer intento de poner en práctica las ideas esbozadas en Grundlagen fracasó, en sus propias palabras, porque no había todavía descubierto lo que será la Ley fundamental V de Grundgesetze: la igualdad entre identidades de extensiones de conceptos y de la igualdad universal de las funciones correspondientes.

Me propongo dar en el siguiente mensaje entonces un resumen de aquellos aspectos del argumento principal de Grundlagen que conducirá a la formulación de la ley básica V.

# 0018

A primera vista suena misterioso lo que Frege dice a continuación de los pasajes que hasta ahora consideramos en el parágrafo 10 de GGAI

“Es posible determinar de manera universal que ‘ῆФ(η) = ᾶΨ(α)’ sin que se pueda deducir  de ello la igualdad de ἐФ(ε) y de ῆФ(η)”

puesto que Frege no introdujo en ningún lado un signo como ‘ῆФ(η)’. Pero podemos tratar de adivinar, de lo que dijo unas cuantas líneas arriba, que estos signos simbolizan lo que nombres para objetos como ‘Χ(ἐФ(ε))’ y ‘ἐФ(ε))’ tienen en común. Este enunciado entonces sólo es otra manera de decir que nuestro axioma (la ley fundamental V) no podrá determinar la naturaleza de los objetos que se identifican al lado opuesto de la igualdad universal. El significado de una expresión como ‘ῆФ(η)’ no está determinado, y no se determina apelando a que es igual a ᾶΨ(α). El signo de identidad dice que son dos nombres de un mismo objeto, y el resto de la fórmula dice, si es verdadera [como lo afirmará la barra del juico en la ley fundamental V; y el hecho de que se trata de un axioma, ya que para Frege un axioma no es axioma si no es verdadero, ni si su verdad se puede demostrar; pero lo que en un sistema de símbolos puede ser axioma, en otro puede ser demostrable, por lo que los axiomas son axiomas siempre respecto a un sistemas de símbolos] que esto es verdad, puesto que también -^a-Ф(a) = Ψ(a) es verdad. Para la determinación de ‘ἐФ(ε)’, esta igualdad universal no llega más lejos que la de ‘ῆФ(η)’ de la que no tenemos idea que clase de objeto designa.

No había misterio, realmente. “Tuviéramos entonces, por ejemplo, una clase de objetos que tuvieran los nombres de la forma ‘ῆФ(η)’ y para cuya distinción y cuyo reconocimiento valdría la misma marca que para los rangos de valor” dice Frege a continuación, lo que parece confirmar lo que acabamos de decir.

Hasta aquí llega nuestra traducción y reproduzco a continuación en español el siguiente pasaje de GGAI § 10:

“Nosotros podríamos ahora determinar la función Χ(ξ) de la manera que dijéramos que su valor debería ser lo verdadero para ῆΛ(η) como argumento y que su valor debería ser ῆΛ(η) para lo verdadero como argumento; el valor de la función Χ(ξ) debería ser además lo falso para el argumento ῆΜ(η) y debería ser ῆΜ(η) para lo falso como argumento; para cualquier otro argumento, el valor de la función Ф(ξ) debería coincidir con éste mismo [con el argumento]. Ahora, bien, si las funciones Λ(ξ) y Μ(ξ) no tienen siempre el mismo valor para el mismo argumento, entonces nuestra función Χ(ξ) nunca tiene el mismo valor para diferentes argumentos y, por consiguiente, también Χ(ῆФ(η)) = Χ(ᾶΨ(α)) siempre tendrá el mismo significado que ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’. Los objetos cuyos nombres tuvieran la forma ‘Χ(ῆФ(η))’ se reconocieran entonces con el mismo medio como los rangos de valor, y Χ(ῆΛ(η)) sería lo verdadero, y Χ(ῆΜ(η)) lo falso. Es decir, sin causar ninguna contradicción con nuestra identidad de  ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ con ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’ es siempre posible determinar que un rango de valor arbitrario debería ser lo verdadero y un rango de valor arbitrario diferente, lo falso. ¡Determinemos entonces que ἐ(__ε) debería ser lo verdadero y que ἐ(ε = (┬-^a-a = a)) lo falso! ἐ(__ε) es el rango de valor de la función __ξ cuyo valor es lo verdadero, si el argumento es lo verdadero y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor y este es, de conformidad con nuestra estipulación, lo verdadero. Por consiguiente, __ἐФ(ε) es lo verdadero únicamente si la función Ф(ξ) es un concepto, bajo el cual cae únicamente lo verdadero; en todos los demás casos __ ἐФ(ε) es lo falso. Además, ἐ(ε = (┬-^a-a = a)) es el rango de valor de la función ξ = (┬-^a-a = a) cuyo valor es lo verdadero únicamente si el argumento es lo falso, y cuyo valor es lo falso para todos los demás argumentos. Todas las funciones de las cuales esto es válido tienen el mismo rango de valor, y este es, de acuerdo a nuestra estipulación, lo falso. Todo concepto, entonces bajo el cual cae lo falso y solo éste tiene como extensión de concepto, lo falso.”

[Aquí viene un nota de pie larga de Frege que nos guardaremos para después de discutir el pasaje que acabo de reproducir en español]

Espero encontrar algún día una mejor manera de representar aquí el signo de negación, y eventualmente el de universalidad.

# 0017

Al principio del parágrafo 10 Frege nos recordó del axioma (lo que luego será la ley fundamental V) que si dos funciones que son verdaderas para cualquier argumento son idénticas, entonces también sus respectivos rangos de valor son idénticos y viceversa. Pero nos hace ver –y este es el primer punto del parágrafo 10- que no podemos saber exactamente cuáles son estos rangos de valor; se podría tratar de ἐФ(ε) o también de Χ(ἐФ(ε)), y los dos nombres no designan necesariamente el mismo objeto. Por esto, Frege dice que esta ecuación no determina del todo las propiedades de una expresión como ‘ἐФ(ε)’.

Una vez identificado el problema, Frege procede a sugerir un remedio para tal indeterminación que tiene que ser superada para que la conceptografía pueda cumplir su objetivo. ¿Cuál exactamente es el problema que no podamos distinguir si el objeto designado por ‘ἐФ(ε)’ en la ecuación axiomática sea ἐФ(ε) o Χ(ἐФ(ε))?

En el parágrafo 7 Frege estipula que ‘Г = Δ’ significa lo verdadero si Г es lo mismo que Δ, y en todos los demás casos significa lo falso. La ecuación axiomática en cuestión sólo establece la identidad de los objetos a la izquierda del signo de igualdad principal, pero no establece absolutamente nada acerca de las propiedades de estos objetos. Este es el problema de Frege: ἐФ(ε) o Χ(ἐФ(ε)) bien pueden tener propiedades incompatibles. ¿De qué propiedades puede tratarse? La única interesante para la conceptografía en este punto de su desarrollo: el valor que da como argumento a cualquier función.

Frege ha de suponer que la naturaleza del problema está perfectamente clara, porque sin más introducción prosigue a decir que el remedio es, estipular para toda función en el momento de introducirla en la conceptografía cuál es el valor que obtiene si se le satisface con un rango de valor como argumento; y lo mismo, de aquí en adelante, si se le satisface con un valor de verdad, que es el único otro objeto introducido hasta ahora, para el cual ya quedó establecido qué valor da a todas las funciones de la conceptografía hasta este momento.

Hemos visto que la única función que es necesario considerar para este fin es ‘ξ = ζ’. Esta identidad es siempre falsa si uno de los argumentos es un rango de valor y el otro un valor de verdad, a menos que haya rangos de valor que sean al mismo tiempo un valor de verdad. Pero esta es una cuestión que nuestra ecuación axiomática no puede resolver, porque no aclara ninguna propiedad de los rangos de valor, y los rangos de valor se introdujeron en la conceptografía únicamente mediante esta ecuación.

El problema ha recibido, pues, un nuevo enfoque. De la pregunta general de la indeterminación de las propiedades de un objeto designado por ‘ἐФ(ε)’, a la pregunta más específica si este objeto puede dar el valor de verdad, verdadero, a una función como ξ = ζ si el otro argumento es un valor de verdad. Este puede ser el caso únicamente si el rango de valor es al mismo tiempo un valor de verdad, ya que de lo contrario los objetos al lado izquierdo y derecho del signo de identidad no serían idénticos y la función tendría el valor, lo falso.

Por esto Frege concluye la segunda etapa de su argumento diciendo, repito:

“...es imposible decidir la pregunta si uno de los valores de verdad es un rango de valor de que ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ debería tener el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’.”

# 0016

No puedo discutir aquí las diferencias entre las visiones de la lógica de Frege y el joven Wittgenstein; son muchas las preguntas acerca de este tema y no sé las respuestas.

Lo que para nuestros fines aquí es suficientemente claro, en todo caso, es que al menos en el presente parágrafo una estipulación en la lógica es admisible para Frege, si no causa conflictos con otras estipulaciones. Todo lo que se tiene que probar en el parágrafo 10, entonces, es

1. que la introducción de los rangos de valor no determina totalmente el significado de los argumentos que son rangos de valor;

2. que hay una manera de determinar totalmente el significado de estos argumentos;

3. que esta determinación no causa conflicto con las demás estipulaciones.

La discusión del segundo punto, Frege la inicia diciendo:

“¿Cómo, entonces, se elimina esta indeterminación? Al determinar para cada función en su introducción cuál valor obtiene para rangos de valor como argumentos, al igual que para todos los demás argumentos. ¡Hagamos esto para las funciones consideradas hasta ahora!”

A continuación  Frege demuestra que es suficiente si se hace esta estipulación para una de las tres funciones introducidas hasta ahora. De las tres funciones consideradas, ┬ξ (la negación de __ξ) puede ignorarse, puesto que es o bien lo verdadero, entonces ‘__ξ’ es un nombre de lo verdadero, o no es lo verdadero, entonces ‘__ξ’ es un nombre de lo falso.

La función __ξ nombra lo verdadero siempre que ‘ξ’ sea lo verdadero. ‘ξ = ξ’ siempre es lo verdadero, entonces ‘ξ = (ξ = ξ)’ es una función que siempre es lo verdadero. Por lo que esta función está comprendida en la función más general: ‘ξ = ζ’. Basta entonces determinar qué valor de verdad adquiere esta función si uno de estos argumentos es un rango de valor. 

Frege dice:

“Puesto que hasta aquí introdujimos únicamente los valores de verdad y los rangos de valor como objetos, sólo puede tratarse de si uno de los valores de verdad acaso es un rango de valor.”

‘ξ = ζ’ puede significar lo verdadero únicamente si los dos argumentos son el mismo valor de verdad. Si ninguno de los valores de verdad es un rango de valor, entonces ‘ξ = ζ’ es lo falso, si uno de los dos argumentos es un rango de valor y el otro un valor de verdad.

Por otra parte, si Ф(ξ) es lo verdadero para cualquier argumento (su rango de valor es lo verdadero) entonces también está decidido cuál valor toma ‘ξ = ζ’ si se toma como uno de sus argumentos lo verdadero: lo verdadero, si este valor es lo verdadero, y lo falso, si es lo falso. Y viceversa para el caso en que Ф(ξ) es lo falso para todo argumento.

Es decir, todos los casos de posibles valores de verdad para la función ξ = ζ están cubiertas, mientras mantengamos que no hay valores de verdad que sean rangos de valor.

Ahora, la cuestión de la indeterminación de los rangos de valor se presenta en nueva vestimenta:

“...es imposible decidir la pregunta si uno de los valores de verdad es un rango de valor de que ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ debería tener el mismo significado que

‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’.”

Continuaremos aquí en la siguiente entrega del blog.

# 0015

El pasaje traducido hasta ahora es este, y nuestro comentario ha cubierto la parte marcada con un fondo amarillo:

§ 10

El que hayamos afirmado que la combinación de signos ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ tenga el mismo significado que ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’, sin embargo, de ninguna manera fija aún del todo el significado de un nombre como ‘(ἐФ(ε)’. Sólo se nos da un medio para reconocer en todo caso un rango de valor si se le designa por un nombre como ‘(ἐФ(ε)’ que permite reconocerlo ya como rango de valor. Pero no podemos decidir, hasta ahora, si un objeto que nos es dado como tal es un rango de valor ni a cuál función pertenece, ni tampoco podemos decidir de manera general si un rango de valor dado tiene una propiedad dada si no sabemos que esta propiedad esté asociada con una propiedad de la función pertinente. Supongamos que

Χ(ξ)

es una función que jamás adquiere el mismo valor para diferentes argumentos, entonces vale justamente la misma marca de reconocimiento para los objetos cuyos nombres son de la forma ‘Χ(ἐФ(ε))’ que para los objetos cuyos signos tienen la forma ‘ἐФ(ε))’. Ya que entonces también ‘Χ(ἐФ(ε) = ΧἀΨ(α))’ tiene el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’ [nota de pie de Frege: Esto no quiere decir que el sentido sea el mismo]. “De esto se desprende que al declarar que el significado de ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ sea igual al de ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’, el significado de un nombre como ‘ἐФ(ε)’ de ninguna manera está determinado del todo, al menos, si existe una función Χ(ξ) cuyo valor para un rango de valor como argumento no siempre es igual a este mismo. ¿Cómo, entonces, se elimina esta indeterminación? Al determinar para cada función en su introducción cuál valor obtiene para rangos de valor como argumentos, al igual que para todos los demás argumentos. ¡Hagamos esto para las funciones consideradas hasta ahora! Éstas son las siguientes:

ξ = ζ, __ξ, ┬ξ.

La última puede quedar fuera de consideración, puesto que siempre se puede considerar un valor de verdad como argumento de ella. No hace ninguna diferencia en su caso si se toma como argumento un objeto o el valor que la función __ξ tiene para este objeto como argumento. Ahora podemos reducir todavía la función __ξ a la función ξ = ζ. De acuerdo a nuestra estipulación, la función ξ = (ξ = ξ) tiene para todo argumento el mismo valor que la función __ξ, ya que el valor de la función ξ = ξ es lo verdadero para todo argumento. De esto sigue que el valor de la función ξ = (ξ = ξ) es lo verdadero únicamente para lo verdadero como argumento, y que es lo falso para todos los demás argumentos, justo como en el caso de la función __ξ. Una vez que se redujo así todo a la reflexión sobre la función ξ = ζ, preguntamos qué valores ésta tiene si se presenta como argumento un rango de valor. Puesto que hasta aquí hemos introducido únicamente los valores de verdad y los rangos de valor como objetos, sólo puede tratarse de si uno de los valores de verdad acaso es un rango de valor. Si esto no es el caso, entonces se queda decidido también que el valor de la función ξ = ζ es siempre lo falso si se toma como uno de sus argumentos un valor de verdad y como el otro argumento un rango de valor. Pero si, por otra parte, lo verdadero es al mismo tiempo el rango de valor de la función Ф(ξ), entonces esto decide también cuál es el valor de la función ξ = ζ en todos los casos en que se toma como uno de sus argumentos lo verdadero, y el asunto es similar si lo falso es al mismo tiempo el rango de valor de cierta función. Pero es imposible decidir la pregunta si uno de los valores de verdad es un rango de valor, de que ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ debería tener el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’. Es posible determinar de manera universal que ‘ῆФ(η) = ᾶΨ(α)’ sin que se pueda deducir  de ello la igualdad de ἐФ(ε) y de ῆФ(η). Tuviéramos entonces, por ejemplo, una clase de objetos que tuvieran los nombres de la forma ‘ῆФ(η)’ y para cuya distinción y cuyo reconocimiento valdría la misma marca que para los rangos de valor.”

Haremos ahora un breve comentario acerca de “si existe una función Χ(ξ) cuyo valor para un rango de valor como argumento no siempre es igual a este mismo”. Frege normalmente hace tácitamente una suposición que Wittgenstein hace explícita en el Tractatus 2.012: “En la lógica nada es dejado al azar.” Si en la lógica algo se puede dar, entonces tiene que haber una necesidad lógica que regula esta posibilidad, idea que parece hacer superflua la lógica modal como disciplina independiente. Si Χ(ξ) puede ser el nombre de una función con las características sugeridas por Frege, entonces la conceptografía tiene que regular lógicamente esta posibilidad. ‘Χ(ἐФ(ε)’ no necesariamente tiene que tener como rango de valor  ‘ἐФ(ε)’ (aunque sí, ‘ἐΧ(ε)’), pero entonces ‘Χ(ἐФ(ε)’ y ‘ἐФ(ε)’ tendrán un valor diferente, a pesar de que fueron introducidos justamente de la misma manera en la conceptografía, a saber, mediante la identidad de la igualdad universal entre funciones y la igualdad de los rangos de valor correspondientes. Suficiente para probar que la identidad referida deja indeterminado el significado de una expresión como ‘ἐФ(ε)’, aseveración de la cual Frege parte en el parágrafo 10. Demos entonces como establecido que esta indeterminación existe. ¿Entonces, no todo está lógicamente determinado en la lógica, sino hay al menos una relación que podemos estipular arbitrariamente, a saber, la relación entre rangos de valor y valores de verdad?

Frege dice, según hemos visto: “¿Cómo, entonces, se elimina esta indeterminación? Al determinar para cada función en su introducción cuál valor obtiene para rangos de valor como argumentos, al igual que para todos los demás argumentos.”

A continuación Frege procede a sugerir tal estipulación, pero vuelve después a la cuestión si tal situación no podría causar una contradicción.

La próxima vez trataremos de atender posibles dudas acerca de la estipulación misma y luego nos ocuparemos de la justificación que Frege da de ella.

# 0014

Nos preguntamos en la última entrega en qué consiste exactamente el problema que Frege tiene para saber qué objeto es denotado por una expresión como ἐФ(ε), si ya estipuló que ‘ἐФ(ε)’ es el rango de valor que corresponde a la función Ф(ξ). Parte de la respuesta da, naturalmente, una lectura atenta del pasaje mismo que hasta ahora hemos traducido. ‘ξ’ tiene que ser nombre de un objeto para que ‘Ф(ξ)’ designe a su vez un objeto tan pronto se reemplace ξ con el nombre de un objeto. Para ilustrar el problema, Frege toma como ejemplo la función Χ(ξ) y estipula que esta sea una función que nunca toma el mismo valor para diferentes argumentos. Nos debemos dar cuenta entonces, dice, que “vale justamente la misma marca de reconocimiento para los objetos cuyos nombres son de la forma ‘Χ(ἐФ(ε))’ que para los objetos cuyos signos tienen la forma ‘ἐФ(ε))’. Ya que entonces también ‘Χ(ἐФ(ε) = Χ(ἀΨ(α))’ tiene el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’.”

Que ‘ἐФ(ε)’ sea el nombre de rango de valor pertinente de un signo como Ф(ξ) no nos dice nada acerca del significado de ninguna de las dos expresiones. El significado de una expresión tiene que ser un objeto, y los únicos objetos que conocemos hasta aquí son valores de verdad y ahora rangos de valor; pero el significado de éstos, aquí, precisamente está en el aire. Todo lo que sabemos de su significado en este momento es que si la igualdad universal (-^a-Ф(a) = Ψ(a) es verdadera (o falsa), entonces también la igualdad de los rangos de valor de las funciones pertinentes es verdadera (o falsa).

Ahora bien, si la función pertinente de un rango de valor no es ni lo falso ni lo verdadero para cualquier argumento, este rango de valor no denota ningún valor de verdad sino es simplemente esto: el objeto que, si queremos, nos lo podemos imaginar metafóricamente como una curva que asigna valores a funciones para diferentes argumentos. Digamos la parábola que se graficaría para y = x². 

Un objeto así en todo caso no es ningún valor de verdad y tampoco puede hacer verdadero una expresión como __ξ, puesto que para esto el argumento tendría que ser un valor de verdad, y además, precisamente lo verdadero. En cambio, si la función es tal que es lo verdadero para cualquier argumento (como e.g. ‘ξ = ξ’), su valor es lo verdadero para todo argumento, y éste sería su rango de valor. ¿Determina en este caso el hecho que la función es lo verdadero para cualquier argumento, el significado del rango de valor pertinente, haciendo que sea lo verdadero?

Lo que en realidad es difícil de ver aquí es la razón por la cual el rango de valor habría de significar valor de verdad alguno, por más que la función pertinente sea lo verdadero para cualquier argumento.  Podríamos vivir totalmente felices sabiendo que’ Ф(ξ)’ y ‘Ψ(ξ)’ denotan la misma función y que esta es verdadera para cualquier argumento, y sabiendo entonces que ‘ἐФ(ε)’ y ‘ἀΨ(α)’ denotan el mismo objeto abstracto, pero ningún valor de verdad.

Pero Frege requiere que rangos de valor puedan significar valores de verdad para que la construcción de su sistema de la aritmética pueda despegar. E intuitivamente parece evidente si un rango de valor es lo que denota el valor de una función que es lo verdadero para cualquier argumento, que este rango de valor debería tener una relación con este valor de verdad en particular, por más que nuestra introducción de los rangos de valor haya dejado esta situación indeterminada. Y sea esto como sea, Frege señala correctamente que las estipulaciones de la conceptografía hasta aquí no resuelven esta cuestión.

Diré algo más que (todavía) no es tan claro aquí, pero que quizás sea una ayuda adicional para leer nuestro pasaje:

Parte de la razón porque este pasaje suena misterioso, me parece, es una suposición tácita, a la que Dummett alude en el pasaje que hemos citado –aunque sin sacar todas las consecuencias de ella, según me parece- y que Frege no puede hacer explícita; precisamente, porque sería parte de una teoría semántica que en opinión de Frege no se puede tener (aunque Dummett reniegue de ello). La suposición tácita es que los objetos mínimamente son pensamientos y los objetos sub-oracionales, a fin de cuenta, también tienen que ser nombres de pensamientos. Las partes de oraciones que no nombran pensamientos enteros en sí no significan nada; su sentido depende del sentido de la oración entera que por sentido tiene un pensamiento (esto, a fin de cuenta, es el principio de contexto). Frege, a diferencia de Russell y el joven Wittgenstein, no es un atomista lógico. Probablemente tendremos que incluir en esta discusión algunos comentarios sobre los parágrafos 29 a 32 para tener argumentos adicionales sobre este asunto. Un pasaje que tengo en mente en particular es uno que también se ha discutido mucho, aunque también pierde, creo, algo de misterioso bajo la consideración que acabamos de hacer (§ 32): “Así se muestra que nuestros ocho nombres originales tienen un significado y con ello, que lo mismo vale para todos los nombres compuestos correctamente de ellos. Pero no sólo un significado, sino también un sentido corresponden a todos los nombres, formados correctamente de nuestros signos. Cada nombre de un valor de verdad así expresa un sentido, un pensamiento. Es que, por medio de nuestras estipulaciones queda determinado en cuales condiciones el mismo significa lo verdadero. El sentido de este nombre, el pensamiento es éste: que estas condiciones se cumplen.” Aquí parecen unirse nuevamente, al fin, los componentes del viejo contenido juzgable, sentido y referencia. Puede haber pensamientos sin significado, i.e., sin valor de verdad, pero no puede haber valor de verdad sin pensamiento. Se sostienen mutuamente ante lo objetivo, como los elementos del arco frente (y gracias) a la gravedad.

Se afirma generalmente, también por Dummett o Kripke, que lo que según Frege se muestra, no se muestra de hecho, sino que es una gigantesca petición de principio; aunque para Dummett, en la ponencia de 1993, esto no destruye el argumento del todo. Quizá también trataremos de hacer un par de reflexiones acerca de ello, más adelante. 

# 0013

El pasaje recién traducido empieza así: “De esto se desprende que al declarar que el significado de ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ sea igual al de ‘-^a-Ф(a) = Ψ(a)’, el significado de un nombre como ‘ἐФ(ε)’ de ninguna manera está determinado del todo, al menos, si existe una función Χ(ξ) cuyo valor para un rango de valor como argumento no siempre es igual a este mismo.”

Una función Χ(ξ) tiene un valor siempre que se reemplaza ξ en ella con el nombre de un objeto. Si no fuera así, Χ(ξ) no podría considerarse una función. ‘ἐФ(ε)’ es el nombre del objeto que se obtiene por reemplazar ξ en Ф(ξ) de manera universal con un nombre, o sea, en símbolo, de -^a-Ф(a).

La conexión lógica entre los nombres de funciones y los nombres que adquieren de manera general cuando la función es satisfecha con el nombre de un objeto, Frege la establece en el parágrafo 8, donde también introduce su signo de universalidad:

“Si declaramos ahora:

‘-^a-Ф(a)’

significa lo verdadero si el valor de la función Ф(ξ) es lo verdadero para todo argumento y, de otra manera, lo falso;

entonces se requiere aquí un complemento ya que se tiene que indicar con más precisión cuál es en cada caso esta función Ф(ξ). Llamaremos esta función la función pertinente.”

De acuerdo a lo estipulado, la función pertinente de -^a-a = a, que es una instancia de -^a-Ф(a), sólo puede ser ξ = ξ (y no, por ejemplo, ξ = a, ni a = ξ). ‘-^a-Ф(a)’ no es ningún nombre para el valor de una expresión como ‘ξ = a’ porque tal expresión no es una fórmula válida. Frege regula en el mismo parágrafo 8 más adelante exactamente cuál función puede considerarse la función pertinente de un nombre como ‘-^a-Ф(a)’; pero estas reglas sólo hacen explícito lo que se requiere para integrar la nueva expresión en la conceptografía sin violación de reglas ya dadas; no doy aquí estos detalles ya que se entienden intuitivamente y para no extenderme más de la cuenta.

Frege llama la expresión que sigue a una cavidad con una letra alemana como a, el dominio de la letra alemana sobre la cavidad. Este dominio  forma, junto con la cavidad, un nombre del valor de verdad sobre la función en general. El objeto nombrado por este nombre es lo verdadero, si Ф(ξ) es lo verdadero para cualquier argumento. Si hay algún argumento ξ para el cual Ф(ξ) es lo falso, entonces -^a-Ф(a) es lo falso. Esta estipulación aclara, entonces, dos cosas: aclara cuál es la función pertinente de una expresión como -^a-Ф(a) y que ‘-^a-Ф(a)’ siempre tiene exactamente un significado. En Ф(ξ) sólo pueden ponerse nombres de objetos  para reemplazar ξ. Es decir, para las fórmulas consideradas hasta aquí, ξ se puede reemplazar con un nombre para ‘lo verdadero’, ‘lo falso’, o, ya que Frege introdujo rangos de valor como objetos, con un nombre de un rango de valor.

Ahora bien, si Frege estipula cómo se relacionan Ф(ξ) y -^a-Ф(a) ¿cuál es ahora su problema para relacionar esto con ἐФ(ε), si ya estipuló que ‘ἐФ(ε)’ es el signo del rango de valor que corresponde a Ф(ξ)? O sea ¿cuál, en realidad, es la indeterminación que aquí nos queda por aclarar?

# 0012

Reproduzco primeramente lo traducido hasta aquí para tenerlo a la mano, corrigiendo de paso algunos errores de redacción más que de traducción:

§ 10

El que hayamos afirmado que la combinación de signos ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ tenga el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’, sin embargo, de ninguna manera fija aún del todo el significado de un nombre como ‘(ἐФ(ε)’. Sólo se nos da un medio para reconocer en todo caso un rango de valor si se le designa por un nombre como ‘(ἐФ(ε)’ que permite reconocerlo ya como rango de valor. Pero no podemos decidir, hasta ahora, si un objeto que nos es dado como tal es un rango de valor ni a cuál función pertenece, ni tampoco podemos decidir de manera general si un rango de valor dado tiene una propiedad dada si no sabemos que esta propiedad esté asociada con una propiedad de la función pertinente. Supongamos que

Χ(ξ)

es una función que jamás adquiere el mismo valor para diferentes argumentos, entonces vale justamente la misma marca de reconocimiento para los objetos cuyos nombres son de la forma ‘Χ(ἐФ(ε))’ que para los objetos cuyos signos tienen la forma ‘ἐФ(ε))’. Ya que entonces también ‘Χ(ἐФ(ε) = ΧἀΨ(α))’ tiene el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’. [nota de pie de Frege: Esto no quiere decir que el sentido sea el mismo]

Frege, continuando el párrafo iniciado, dice a continuación:

“De esto se desprende que al declarar que el significado de ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ sea igual al de ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’, el significado de un nombre como ‘ἐФ(ε)’ de ninguna manera está determinado del todo, al menos, si existe una función Χ(ξ) cuyo valor para un rango de valor como argumento no siempre es igual a este mismo. ¿Cómo, entonces, se elimina esta indeterminación? Al determinar para cada función en su introducción cuál valor obtiene para rangos de valor como argumentos, al igual que para todos los demás argumentos. ¡Hagamos esto para las funciones consideradas hasta ahora! Éstas son las siguientes:

ξ = ζ, __ξ, ┬ξ.

La última puede quedar fuera de consideración, puesto que siempre se puede considerar un valor de verdad como argumento de ella. No hace ninguna diferencia en su caso si se toma como argumento un objeto o el valor que la función __ξ tiene para este objeto como argumento. Ahora podemos reducir todavía la función __ξ a la función ξ = ζ. De acuerdo a nuestra estipulación, la función ξ = (ξ = ξ) tiene para todo argumento el mismo valor que la función __ξ, ya que el valor de la función ξ = ξ es lo verdadero para todo argumento. De esto sigue que el valor de la función ξ = (ξ = ξ) es lo verdadero únicamente para lo verdadero como argumento, y que es lo falso para todos los demás argumentos, justo como en el caso de la función __ξ. Una vez que se redujo así todo a la reflexión sobre la función ξ = ζ, preguntamos qué valores ésta tiene si se presenta como argumento un rango de valor. Puesto que hasta aquí hemos introducido únicamente los valores de verdad y los rangos de valor como objetos, sólo puede tratarse de si uno de los valores de verdad acaso es un rango de valor. Si esto no es el caso, entonces se queda decidido también que el valor de la función ξ = ζ es siempre lo falso si se toma como uno de sus argumentos un valor de verdad y como el otro argumento un rango de valor. Pero si, por otra parte, lo verdadero es al mismo tiempo el rango de valor de la función Ф(ξ), entonces esto decide también cuál es el valor de la función ξ = ζ en todos los casos en que se toma como uno de sus argumentos lo verdadero, y el asunto es similar si lo falso es al mismo tiempo el rango de valor de cierta función. Pero es imposible decidir la pregunta si uno de los valores de verdad es un rango de valor, de que ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ debería tener el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’. Es posible determinar de manera universal que ‘ῆФ(η) = ᾶΨ(α)’ sin que se pueda deducir  de ello la igualdad de ἐФ(ε) y de ῆФ(η). Tuviéramos entonces, por ejemplo, una clase de objetos que tuvieran los nombres de la forma ‘ῆФ(η)’ y para cuya distinción y cuyo reconocimiento valdría la misma marca que para los rangos de valor.”

Estas son nuestras condiciones iniciales para resolver cómo contestar la pregunta si un rango de valor es o no es un valor de verdad, y cuál. Trataremos de aclarar en la siguiente entrega posibles dudas acerca de este pasaje antes de proseguir a presentar la solución que Frege propone.

# 0011

Poco después de publicar Conceptografía, Frege intentó en vano publicar un artículo para enfatizar las diferencias entre el lenguaje simbólico de Boole y el suyo. Antes de regresar al parágrafo 10 de GGAI traduciré aquí un pasaje un poco más extenso de este artículo sin publicar, que se llama: “La lógica calculadora de Boole y la conceptografía”. Obviamente, en 1880/81, Frege todavía hablaba de un ‘contenido juzgable’ y no había hecho aún el giro al par de ‘sentido’ y ‘significado’. El pasaje puede ayudarnos después a enfocar mejor la cuestión de la relación entre el pensamiento y sus partes, respectivamente la oración y sus partes, aunque tampoco la resuelve en un sentido u otro. El pasaje corre en la edición de la obra póstuma Gottlob Frege. Nachgelassene Schriften. Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Friedrich Kaulbach, editores; Felix Meiner, 2a ed. 1983; de la página 18 a la 19. Hasta donde sé no existe en este momento una versión en español de este artículo. En las páginas anteriores Frege explica que, mientras Boole parte del concepto y de la igualdad de extensión de estos, él parte de los juicios y sus contenidos y de la relación hipotética precisamente definida, ya que la formación de los juicios es el resultado del análisis del contenido juzgable. Después de ilustrar mediante ejemplos cómo procede este análisis, Frege resume:

“En lugar de combinar el juicio de una cosa individual como sujeto [nota de Frege: los casos en que el sujeto no es una cosa individual son totalmente distintos de esto y no se toman en cuenta aquí] y de un concepto previamente formado como predicado, permito inversamente que el contenido juzgable se descomponga y obtengo así el concepto. [...] Ciertamente, la expresión del contenido juzgable ya tiene que estar en sí estructurada para que se pueda descomponer de esta manera. Se puede concluir de esto que al menos las propiedades y relaciones que no pueden descomponerse más tienen que tener designaciones simples propias. Pero de esto no sigue que las representaciones de estas propiedades y relaciones se forman separadamente de las cosas; sino estas surgen junto con el primer juicio a través de los cuales se adscriben a las cosas. Sus designaciones, por consiguiente, nunca se presentan aisladamente sino siempre en conexiones que expresan contenidos juzgables. ... Un signo de una propiedad nunca hace su aparición sin que una cosa al menos fuera indicada a la que esta propiedad pertenecería, la designación de una relación nunca sin la indicación de las cosas que se encuentran en ella.”

Tal como yo lo interpreto, este pasaje hace muy cuestionable una lectura de Frege, de la cual Kripke [“Frege’s Theory of Sense and Reference: Some Exegetical Notes; THEORIA, 2008, 74, 181–218”]  cree poder extraer el así llamado “principio de Frege”, según el cual “el referente del todo es una función de los referentes de las partes”. El artículo de Kripke en todo caso tiene problemas más graves, y no lo discutiré (por ahora) aquí.

En el parágrafo 10 de GGAI, en todo caso, Frege por ‘cosas’ y ‘objetos’ entiende únicamente objetos cuyos nombres fueron introducidos hasta este momento en la conceptografía y por lo menos momentáneamente no tiene que ocuparse de nombres como ‘Julio Cesar’, según Dummett observa en el artículo del cual hemos venido citando algunos pasajes (aunque no este en particular); porque quien conoce hasta aquí la conceptografía sólo sabe de valores de verdad y, ahora, de rangos de valor, pero no hay otras cosas – aunque la conceptografía, desde luego, tiene que permitir su introducción posterior. 

# 0010

La interpretación que Dummett hace del parágrafo 10 de GGAI, propiamente hablando, empieza con el pasaje citado al final de mi mensaje anterior:

“La razón por la cual la pregunta, a cuál objeto una expresión lingüística se refiere sólo puede contestarse desde adentro del lenguaje, no es únicamente que sólo podemos seleccionar este objeto por medio del lenguaje. También se debe a que la palabra ‘referir’ es ella misma una palabra que aprendimos solamente al aprender el lenguaje.”

Esta última observación tiene la consecuencia de que la explicación en un lenguaje, a qué se refiere una palabra en otro idioma, no deja de ser interna al lenguaje que se usa para dar la explicación.

Quizá sería bueno enfatizar aquí que esta explicación de Dummett se relaciona con cuestiones de semántica universal y no con el problema limitado de asignar significado a signos en un lenguaje simbólico que sólo toma dos nombres como primitivos: lo verdadero y lo falso. Que Frege tomó los objetos designados por estos nombres por primitivos, es otra manera de decir que él piensa que no son definibles, y para definirlos, e.g. a la manera de Tarski, se tienen que abandonar muchos de los supuestos fundamentales que Frege mantiene acerca de la lógica; en particular, se tiene que asumir una teoría semántica universal que Frege no asocia con su esfuerzos para construir los fundamentos de la aritmética. Cómo lo verdadero y lo falso entran en el lenguaje simbólico y en el lenguaje en general (es decir, entre otras cosas, cómo decidimos acerca de oraciones con contenido empírico si son verdaderas o falsas) son preguntas que no conciernen ni a la lógica ni a Frege.

Dummett está muy consciente de que Frege no está construyendo aquí una teoría semántica y continúa: “En Grundgesetze Frege no explicaba un lenguaje con un uso ya establecido, ni especificó su uso mediante la traducción al metalenguaje. Él especificó lo que sus fórmulas deberían significar; pero no desde fuera, sino de adentro.” Ciertamente, dice, el significado de las expresiones se dio en el metalenguaje, el alemán, pero el significado explicado era interno al lenguaje objeto, no al metalenguaje. Los únicos elementos del lenguaje objeto que se tienen que conocer previo a la construcción del lenguaje son los dos valores de verdad. La estrategia de Frege era “fijar los Bedeutungen de los términos del lenguaje formal indirectamente, para así decirlo, mediante estipulaciones que determinan los valores de verdad de todas sus oraciones; porque lo único que puede suponerse que alguien sepa si conoce el lenguaje, justo en virtud de que lo conozca, es lo que hace que sus oraciones sean verdaderas o falsas” o, que es lo mismo, que conozca el significado de ‘verdadero’ y ‘falso’ sin explicación teórica.

La conclusión de Dummett es, entonces, que, puesto que no hay explicaciones de los términos en un lenguaje externo, lo único que queda es esta estipulación indirecta, o sea, una nueva forma del principio de contexto.

Dummett a continuación de los pasajes aquí reproducidos o parafraseados trata de defender su tesis, contra van Heijenoort e Hintikka, de que es justificable sostener que Frege haya propuesto una teoría semántica al menos parcial, esta explicación del principio de contexto no obstante. No es necesario para nuestros propósitos presentes entrar en los detalles de esta discusión.

Regresaremos en la siguiente entrega del blog a la discusión directa del parágrafo 10 de GGAI.

[todos los pasajes citados de Dummett son de “The Context Principle: Centre of Frege’s Philosophy” en Logik und Mathematik. Frege Kolloquium Jena 1993; Ingolf Max & Werner Stelzner, editores, Walter de Gruyten; Berlin & New York; 1995; p. 15-17].