Wittgenstein&ianism

# 0031

Dummett y otros, como e.g. Heck, o también Edward N. Zalta en su entrada “Frege's Theorem and Foundations for Arithmetic” en Stanford Encyclopedia of Philosophy (http://plato.stanford.edu/entries/frege-theorem/) sugieren que lo que surge en el parágrafo 10 es el mismo problema que Frege menciona en Grundlagen y que se suele llamar el problema de Cesar, o la pregunta si Inglaterra es lo mismo que la dirección del eje de la tierra. Quizá sería buena idea conocer más de cerca a qué se refiere este comentario.

Frege menciona lo que posteriormente llegó a conocerse bajo este complejo de problemas en el parágrafo 56 de Grundlagen y lo usa para ilustrar porque no es suficiente la definición de números propuesta por Leibniz, complementada con una definición de 0 y de 1, como primeramente insinúa en el parágrafo 55. Existe una versión en español de Grundlagen, pero no la tengo a la mano, entonces haré mi propia traducción del pasaje.

“Una vez que reconocimos que la índicación numérica contiene un enunciado sobre un concepto, podemos intentar complementar las definiciones leibnizianas de cada uno de los números por la del 0 y del 1.

[Las definiciones leibnizianas a que Frege aquí se refiere, las menciona en el § 6, citando de Nouveaux Essais; las definiciones son ‘2 es 1 y 1’, ‘3 es 2 y 1’ y ‘4 es 3 y 1’ con cuya ayuda, junto con el axioma de que se pueden sustituir elementos iguales conservando la igualdad (que es su vez es susceptible de ser definido), más el axioma que ‘a + (b + c) = (a + b) + c’ suministrado en la prueba por Frege, Leibniz demuestra que el enunciado ‘2 + 2 = 4’ es demostrable y no depende de intuiciones, haciendo las operaciones matemáticas juicios analíticos en vez de sintéticos, y permitiéndole a Frege embarcarse en su aventura logística en desafío de Kant. Continuemos con el texto de Frege:]

...el número 0 es pertinente a un concepto si de manera universal el enunciado vale que a no cae bajo este concepto, sea a lo que sea.

De manera similar podría decirse: el número 1 es pertinente a un concepto F, cuando el enunciado ‘a no cae bajo este concepto’ no vale de manera universal sea a lo que sea, y que se sigue de manera universal de los enunciados ‘a cae bajo F’ y ‘b cae bajo F’ que a y b son lo mismo.

Frege sugiere todavía que podríamos hacer el intento de explicar la transición de un número al siguiente así:

...el número (n + 1) es pertinente al concepto F si hay un objeto a que cae bajo F y que tiene la propiedad de que el número n es pertinente al concepto ‘cae bajo F pero no a’.

Así termina el § 55, y estos intentos de definición pueden parecer tan naturales, dice Frege, que se requiere una explicación porque son insuficientes. Ahí es, donde entra el “problema de Cesar”. Que hay problemas, sin embargo, podría sospecharse, comenta, ya que

“...si se observa detenidamente, el sentido de la expresión ‘el número n es pertinente al concepto G’ nos es tan desconocido como aquel de la expresión ‘el número (n + 1) es pertinente al concepto F.’ Ciertamente, podemos decir, basados en esta explicación junto con la penúltima lo que significa ‘el número 1 + 1 es pertinente al concepto F’ y luego, haciendo uso de esto, el sentido de la expresión ‘el número 1 + 1 + 1 es pertinente al concepto F’, etc.; pero nunca jamás podemos decidir con base en nuestras definiciones –para dar un ejemplo extremo- si el número Julio Cesar es pertinente a un concepto, si este conquistador conocido de Galia es un número o no.”

Además, continúa, tampoco podríamos demostrar que ‘a = b’ necesariamente si a y b son pertinentes al mismo concepto F.

Es bastante obvio que lo único que Frege trata decir con su ejemplo extremo es que nuestras definiciones no nos permiten distinguir los números de otros objetos, ni saber si a dos conceptos les pertenece el mismo número, que éste efectivamente sea el mismo número y no, por ejemplo, un objeto meramente similar pero diferente en algunos aspectos (como algunos matemáticos sugirieron). 

Seguimos sin saber, pues, qué cosa es un número, y justo tenemos que saberlo si queremos demostrar que el sistema de Kant necesita corregirse en cuanto a su noción de las operaciones aritméticas.

Lo que también se nota en este pasaje sin posibilidad de duda es que para Frege, cuando redactó Grundlagen, ‘sentido’ y ‘significado’ eran prácticamente sinónimos. Esto nos obliga a reflexionar un poco sobre el sentido en que en el § 10 de Grundgesetze reaparece el “problema de Cesar” y qué signfica.

También trataremos de hacer algunas reflexiones sobre el significado de un corto pasaje de Zalta hacia el final de su entrada sobre el “Teorema de Frege” en su entrada n Stanford Encyclopedia of Philosophy.

“Even if Frege somehow could have successfully restricted the quantifiers of Gg [Grundgesetze] to avoid the Julius Caesar problem, he would no longer have been able to extend his system to include names of ordinary non-logical objects. For if he were to attempt to do so, the question, “Under what conditions is εF [el rango de valor pertinente al concepto F] identical with Julius Caesar?”, would then be legitimate but have no answer. That means his logical system could not be used for the analysis of ordinary language. But it was just the analysis of ordinary language that led Frege to his insight that a statement of number is an assertion about a concept”.