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El esfuerzo que Frege hizo casi durante toda su vida,
de demostrar que los números son objetos que forman parte de la materia de la
cual trata la lógica, es más o menos diametralmente opuesto al esfuerzo de la
corriente principal en que se inspiraba una mayoría de los matemáticos a
finales del siglo XIX e.g. el matemático alemán Hilbert, para el cual las
matemáticas no tratan de nada, sino son meramente sistemas deductivos
desarrollados a partir de muy pocos axiomas, cuya verdad no importa para el
sistema deductivo construido a partir de ellos (lo que no debe pasar es que sea
posible deducir contradicciones de los axiomas – lo que inspiraba el famoso
programa de Hilbert, el cual llevó finalmente a los todavía más famosos
teoremas de Gödel). El diálogo entre Frege e Hilbert era realmente un diálogo
entre sordos, pues aunque Frege se daba cuenta de que Hilbert usaba el término
‘axioma’ en un sentido diferente que él, no pudo admitir que la aritmética no
tuviera objetos de que trata, i.e., los números. Hasta en los últimos años de
su vida, donde concede la posibilidad de que él se haya dejado seducir desafortunadamente
por el lenguaje natural a suponer que los números deberían ser objetos – lo que
una vez más demostrase que los matemáticos hacen bien en olvidarse del lenguaje
natural para sus investigaciones. Pero a la hora de redactar el tomo I de Grundgesetze, para Frege los axiomas
eran axiomas porque (i) eran verdaderos y (ii) porque no se podían demostrar
dentro del mismo sistema de axiomas. Si un axioma es demostrable, deja de ser
axioma y se convierte en teorema demostrable. Las ideas de los matemáticos en
derredor Hilbert habían roto con esta venerada noción de axioma, inspirada en
Euclides.
Pero a Frege y a los más jóvenes Hilbert y Russell les
unía, con todas las enormes diferencias que había entre su visión de las
matemáticas, una meta: asegurar que las demostraciones matemáticas no tenían defectos
ocultos. La enorme diferencia entre Hilbert y Frege era aquí, como ya hemos
dicho, que Frege creía que las proposiciones matemáticas eran significativas,
mientras que Hilbert vaciaba los nombres que aparecían en sus fórmulas de todo
contenido y cortaba así el nexo de lo verdadero y lo falso que Frege creía
haber establecido entre el lenguaje de las matemáticas y el lenguaje de la
experiencia (cosa que finalmente resultó ser una ilusión; Hilbert, en cambio,
traslada el problema de la verdad de los enunciados matemáticos de éstos mismos
a las consideraciones meta-matemáticas, donde, no muy sorprendente, resurge el
problema). Lo que unía a Frege, a Russell y a Hilbert era su esfuerzo,
entonces, de hacer explícitos todos los supuestos lógicos escondidos en las
deducciones matemáticas; esto es lo que Frege trata de llevar a cabo en Grundgesetze, y Whitehead y Russell en Principia Matemática más de 10 años
después de la pulbicación de GGAI, desde luego sin los supuestos neokantistas
que inspiraban a Frege en su obra. Russell, en el anexo A de Principles of Mathematics elogia en las
primeras páginas los esfuerzos de Frege. Siendo anti-kantista él y habiendo
tanta coincidencia en las metas y en los métodos, es entendible que no podía
suponer que Frege quizá trataba de corregir meramente un aspecto del edificio
teórico de Kant sin derruirlo del todo, al postular la naturaleza de los
números como objetos lógicos (que Kant, como ya observamos, juzgaba imposible; quien
muy probablemente inspiraba más directamente a Frege en esto, Hermann Lotze, compartía
con Frege la convicción de que los números eran objetos lógicos, pero pensó que
era imposible demostrarlo).
El problema con el cual luchaban Frege, Russell,
Hilbert y muchos otros con métodos muy diversos, lo ilustra muy bien un ejemplo
que dan Ernest Nagel y James R. Newman en su libro Gödels Proof. El ejemplo es muy bonito y muy ilustrativo, por lo
que lo reproduzco aquí enteramente; se trata de la prueba de Euclides de que no
hay un número primo más alto:
“Vamos a suponer,
en contradicción con el enunciado que ha de demostrarse, que haya un número
primo más alto el cual lo llamamos ‘x’. Entonces vale:
1. x es el número primo más alto.
2. Fórmese el producto de todos los números primos que son menores que x o que son iguales a x, y súmase 1.
Esto da un nuevo número y, para
el cual vale:
y = (2 · 3 · 5 · 7 · .... · x) + 1
3. Si y es un número primo,
entonces x no es el número primo más
alto, ya que y es evidentemente más
alto que x.
4. Si y se puede descomponer
(i.e. no es número primo), entonces tampoco x
es el número primo más alto, ya que, si y
es un número que se puede descomponer, entonces debe ser divisible por un
número primo z; y z tiene que ser diferente de cada uno de
los números primos 2 · 3 · 5 · 7 · .... · x que son menores que x o iguales a x. Por consiguiente, z
tiene que ser más alto que x.
5. Pero y es, o bien un número
primo o se puede descomponer.
6. Por lo tanto, x no es el
número primo más alto.
7. No hay número primo más alto.”
Como ejemplo de una suposición lógica tácita los
autores mencionan para el enunciado 5, que éste se basa en el teorema lógico ‘p o no-p’
mediante sustitución de ‘p’ por ‘x es
un número primo’.
Es una meta primordial de Frege en el diseño de su Conceptografía hacer explícitos todos
los supuestos lógicos de los cuales tanto lógicos como matemáticos hacen uso
tácitamente. En Grundgesetze Frege
trata de llevar a cabo este objetivo para el programa enunciado en Grundlagen der Arithmetik.
Estamos cerrando el anillo de sitio alrededor de nuestro objetivo...
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