# 0009

Dummett mantiene, entonces, que el parágrafo 10 de GGAI (o Grundlagen [tomo I]), en combinación con los parágrafos 29, 31 y 32,  es una versión del principio de contexto. En resumen, su argumento es aproximadamente como sigue:

1. El objetivo principal de Frege no era reducir la aritmética a la lógica, sino el de justificar la existencia de objetos abstractos en general y en particular aquellos que forman el dominio de una teoría matemática fundamental.

2. En Grundlagen Frege enuncia el problema, en Grundgesetze formula su propuesta de solución: “Todos los objetos matemáticos tienen que presentarse como rangos de valor; la existencia de rangos de valor, sin embargo, no puede suponerse como dada sino requiere una justificación, la cual depende de una forma fuerte del principio de contexto.” [‘Rangos de valor’ es una traducción de ‘value-range’. Ambas expresiones no son muy adecuadas para reproducir ‘Wertverlauf’, pero no se me ocurre otra mejor; a veces uso ‘curso de valor’, o ‘curva de valor’]

3. El problema filosófico sigue sin solución y mientras no se resuelva “ninguna filosofía de las matemáticas puede ser adecuada.” El problema es parte de un problema más general, “central para la filosofía en general: ¿cómo logramos referirnos a objetos?” Frege no tuvo éxito en su empresa, pero al menos se hizo la pregunta, a diferencia de los matemáticos de su época y de hoy, que simplemente ignoran el problema.

4. La consecuencia del reemplazo de ‘beurteilbarer Inhalt’ (‘contenido juzgable’) por ‘sentido’ y ‘significado’ para el principio de contexto:

4.1 El principio de contexto no se divide en dos.

4.2 El sentido de una expresión de Conceptografía es determinado mediante las estipulaciones que especifican su significado (§ 32 GGAI): “... el Sinn de una oración [es] el pensamiento de que se cumple la condición de que es verdadera –que su Bedeutung es la valor de verdad, verdadero- mientras que caracteriza el Sinn de una expresión sub-oracional como su contribución al pensamiento expresado por la oración en su conjunto.”

4.3 De acuerdo a Dummett, lo anterior no es una versión del principio de contexto respecto a sentidos. “Frege no mantuvo en § 32 ... [que] pueda haber expresiones sub-oracionales cuyos Sinne se derivan de los Sinne de oraciones de las cuales forman parte.” De esto y de 4.2 sigue que “si el principio de contexto es válido para Sinn, depende de si es válido para Bedeutung”.

4.4 En Grundgesetze Frege ya no acepta definiciones contextuales (en Grundlagen sí) sino las refuta explícitamente (§ 66 GGAII). El principio de contexto no tiene nada que ver con ningún principio de definiciones sino con la manera en que se explican los símbolos primitivos del sistema.

5. Frege “... propone que los Bedeutungen de los términos para rangos de valor se pueden determinar mediante la determinación de los valores de las funciones primitivas para sus Bedeutungen como argumentos y, de esta manera, de hecho mediante la determinación de Bedeutungen de términos más complejos de los cuales forman parte.” Puesto que todas las funciones primitivas que Frege tiene que tomar en cuenta aquí son conceptos y sus relaciones, por lo que ‘términos más complejos’ son, de hecho oraciones. 

[Nota para después: de hecho, el significado más primitivo es el de la oración: su valor de verdad. Por lo que nunca nos podemos referir a algo que no sea un pensamiento. Pero parece que Dummett y otros tratan la construcción de sistema de Frege como teoría referencial sobre dominios de objetos independientes de estas estipulaciones, y que sea por esto que piensan que la demostración sea circular que Frege intenta en GGAI de que todos los nombres tienen significado]

En la próxima entrega veremos cómo Dummett usa su lectura del principio de contexto para defender su hipótesis de que Frege estaba proponiendo una teoría semántica – y que entonces es una teoría semántica fallida. Para esto empieza diciendo:

“La razón por la cual la pregunta, a qué objeto una expresión lingüística refiere, sólo puede contestarse desde adentro del lenguaje, no es únicamente que sólo podemos seleccionar este objeto por medio del lenguaje. También se debe a que la palabra ‘referir’ es ella misma una palabra que aprendimos solamente al aprender el lenguaje.”

[todos los pasajes citados de Dummett son de “The Context Principle: Centre of Frege’s Philosophy” en Logik und Mathematik. Frege Kolloquium Jena 1993; Ingolf Max & Werner Stelzner, editores, Walter de Gruyten; Berlin & New York; 1995; p. 13-15].

# 0008

Dummett empieza por recordar que Frege introduce el, así llamado, principio de contexto –“Sólo en el contexto de una oración las palabras significan algo” (Cf. también Tractatus 3.3: “Sólo la oración tiene sentido; sólo en el contexto de la oración tiene un nombre significado.” Aunque Wittgenstein usa los términos claves aquí con un significado muy diferente que Frege)- en Fundamentos de la aritmética (Grundlagen) siendo “una parte central en la argumentación en la argumentación del libro.” (p. 3). Dummett continúa diciendo que Frege, sin embargo, en esta etapa del desarrollo de su filosofía semántica no distinguía entre el significado y el objeto designado por un nombre. Esta falla se corrige, en opinión de Dummett y de muchos otros intérpretes de Frege, con la introducción de la distinción entre significado (o referencia; Bedeutung) y sentido (o significado, con la intención de dejar en claro el papel de Sinn en la “teoría semántica” de Frege, de acuerdo a esta lectura. No discutiré este punto presentemente. Me adhiero a las expresiones de Frege y a las sugerencias e.g. de Ernst Tugendhat y Ignazio Angelleli, y traduzco en todo caso literalmente ‘Bedeutung’ como ‘significado’ y ‘Sinn’ como ‘sentido’). Sea esto como sea, se ha argumentado, también por el propio Dummett en ocasiones anteriores, que el reemplazo de ‘contenido juzgable’ por el par, ‘significado’ y ‘sentido’, deja el principio de contexto sin sustento. En todo caso tendría que decidirse ahora si este principio de contexto se refiere al significado, al sentido o a ambos, si acaso es aplicable. El propio Frege jamás volvió a usar palabras similares para expresar algo como este principio; suficiente para dejar al menos mucha duda acerca de si el principio de contexto ha podido sobrevivir el giro en el pensamiento de Frege después de Grundlagen. Hay argumentos adicionales que parecen sugerir que el Principio de contexto desapareció de la filosofía de lógica de Frege junto con el contenido juzgable, pero para nuestros fines basta con lo dicho.

Dummett luego da el motivo que Frege tiene para introducir el principio de contexto en Grundlagen: “En Grundlagen Frege había usado el principio de contexto para justificar el tratamiento de números como objetos objetivos auto-subsistentes.” Creo que esto es una expresión poco feliz; el principio de contexto es una consecuencia natural de las demás convicciones fregeanas sobre lógica y la idea de que los números son objetos en este sentido proviene de esta misma fuente; Frege “simplemente” tiene que combinar estas convicciones para explicar, corrigiendo a Kant, “¿Cómo podría dársenos pues un número si no podemos tener ninguna representación ni intuición de él?” en un pasaje que antecede directamente la formulación del principio de contexto arriba [Grundlagen, § 62]. Sea esto como sea, Dummett da luego su criterio que podría justificar la vigencia del principio más allá de Grundlagen: “Ninguna tesis que el mantuvo después de 1890 se podría justificadamente llamar ‘el principio de contexto’ a menos que, en su mente, cumpliera una función similar.” Para luego proponer su nueva hipótesis, la que nos ocupará a partir de la próxima entrega del blog: “Él [Frege], sin embargo, mantuvo en Grundgesetze una tesis que cumple justamente esta función.” [todos los pasajes citados de Dummett son de “The Context Principle: Centre of Frege’s Philosophy” en Logik und Mathematik. Frege Kolloquium Jena 1993; Ingolf Max & Werner Stelzner, editores, Walter de Gruyten; Berlin & New York; 1995; p. 13].

# 0007

Reproduzco primero lo traducido hasta ahora:

El que hayamos afirmado que la combinación de signos ‘(ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ tenga el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’, sin embargo, no fija de manera alguna aún del todo el significado de un nombre como ‘(ἐФ(ε)’. Sólo se nos da un medio para reconocer siempre un rango de valor si se le designa por un nombre como ‘(ἐФ(ε)’, por medio del cual ya se le puede reconocer como rango de valor. Pero no podemos decidir hasta ahora si un objeto que nos es dado como tal es un rango de valor ni a cuál función pertenece, ni tampoco podemos decidir de manera general si un rango de valor dado tiene una propiedad dada si no sabemos que esta propiedad está asociada con una propiedad de la función pertinente.

Antes de resumir la traducción sería quizá bueno aclarar el significado local de un término peculiar, ‘propiedad’, aparentemente inofensivo. Frege habla de la propiedad del rango de valor ‘ἐФ(ε)’ y de la función cuyo rango de valor es, ‘Ф(ξ)’. Naturalmente estos son los nombres de cualquier rango de valor y de cualquier función satisfecha con cualquier argumento. La única propiedad en cuestión puede ser el valor que toma la función al estar satisfecha y cómo éste determina si el rango de valor acaso es un valor de verdad y, en caso que lo sea, cuál. Pero a este nivel de universalidad, Ф(ξ) no tiene ningún valor determinado. Frege tiene que resolver, entonces, dos cuestiones: primeramente, encontrar una manera para determinar si ‘ἐФ(ε)’ es acaso un valor de verdad, y en segundo lugar si la determinación de la relación universal entre funciones y sus rangos de valores no acaso podría engendrar una contradicción.

Frege primero aclara el problema, luego resuelve el primer problema, y después se ocupará del segundo:

Supongamos que

Χ(ξ)

es una función que jamás adquiere el mismo valor para diferentes argumentos, entonces vale justamente la misma marca de reconocimiento para los objetos cuyos nombres son de la forma ‘Χ(ἐФ(ε))’ que para los objetos cuyos signos tienen la forma ‘ἐФ(ε))’. Ya que entonces también ‘Χ(ἐФ(ε) = ΧἀΨ(α))’ tiene el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’. [nota de pie de Frege: Esto no quiere decir que el sentido sea el mismo]

Que tanto ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ como ‘Χ(ἐФ(ε)) = ΧἀΨ((α))’ tengan el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’ no permite suponer que ‘Χ(ἐФ(ε) = ἐΨ(ε))’ sea verdadera, en particular, si suponemos, como lo hace Frege, que X(ξ) nunca adquiere el mismo valor para diferentes argumentos o que sea una función “cuyo valor para un rango de valor como argumento no siempre sea igual a éste” como dirá un poco más adelante. ‘ἐФ(ε)’ es el rango de valor de la función Ф(ξ), mientras que ‘ἀΨ(α)’ es el rango de valor de la función Ψ(ξ). Si estas dos funciones siempre adquieren el mismo valor para los mismos argumentos, sean estos lo que sean, la igualdad universal expresada mediante ‘ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ significa lo verdadero. Lo mismo vale para ‘Χ(ἐФ(ε) = (ἐΨ(ε))’. Pero esto no quiere decir, evidentemente, que ‘ἐФ(ε)’ tenga el mismo valor de verdad que ‘Χ(ἐФ(ε))’, ni que ‘ἐФ(ε)’ siquiera sea un valor de verdad; todo lo que sabemos, si así se presenta, es que es un rango de valor. Y cuando se presenta como ‘X(ξ)’ ni siquiera esto sabemos.

Hay un pasaje de Dummett que me parece muy atinado para aclarar este aspecto del parágrafo 10. Lo presentaré aquí en la siguiente entrega junto con las reservas que creo conveniente. El pasaje es de “The Context Principle: Centre of Frege’s Philosophy” y fue publicado en Logik und Mathematik. Frege Kolloquium Jena 1993; Ingolf Max & Werner Stelzner, editores, Walter de Gruyten; Berlin & New York; 1995, p. 3 – 19, el pasaje en particular que tengo en mente corre de la página 14 a la 17. Trataré de resumir el argumento de Dummett con un buen condimento de citas textuales. 

# 0006

Interrumpo la  discusión del parágrafo 10 de GGAI momentáneamente para hacer un comentario general:

Yo en lo personal pienso que el argumento que Hans Sluga presenta en Gottlob Frege (1980) es esencialmente y en su tendencia correcto. Probablemente haya detalles que se pueden discutir, pero un problema que no tiene, me parece, es que el autor no estuviera haciendo lo suficiente para demostrar sus argumentos. El argumento que Hans Sluga presenta es en general la presentación más razonable de la motivación filosófica de Frege que lo impulsó a la construcción de su sistema científico; todas las demás descripciones de la filosofía de Frege que yo conozco dejan sus motivos en partes  importantes sin explicar, su sistema lleno de lagunas y en necesidad de parches para hacerlo mínimamente viable - dejando  en todo  caso a un lado la paradoja de Russell.

Yo creo que si se ofrece una  explicación mucho más satisfactoria, la obligación de probar que falla reside en los críticos, no en el  autor. Frege no era un académico del siglo XXI inscrito en el  SNI que tenía  que probar la valiosidad de sus escritos con exceso de  referencias a otras obras. Frege no tenía que esconder su falta de original en un mar de citas, Frege era original. Pero esto hace difícil demostrar qué otras obras tenían influencia en sus reflexiones, excepto  de manera indirecta, como lo intenta hacer Hans Sluga. Además, cuando  Frege escribía sus obras no  tenía -evidentemente- la perspectiva histórica que nosotros tenemos y él mismo puede haber ignorado fácilmente la real influencia, por ejemplo, del neo-kantismo sobre él, simplemente porque era la corriente de ideas con la cuál el casi automáticamente se identificaba más - sin suscribirse explícitamente a "ninguna ciudadanía de pensamientos".

En mi  próximo mensaje pienso regresar a la discusión del parágrafo 10 de GGAI. Aprovecho para anunciar otra intención. Una vez concluida la discusión de este aspecto de Frege, haré quizá algunas reflexiones sobre la obra de Bennett y Hacker Philosophical Foundation of Neurosciences que también mi maestro Alejandro Tomasini está tratando en un seminario en  la UNAM.

# 0005 

§ 10 de GGAI empieza así:

El que hayamos afirmado que la combinación de signos ‘(ἐФ(ε) = ἀΨ(α)’ tenga el mismo significado que ‘(-^a-Ф(a) = Ψ(a)’, sin embargo, no fija de manera alguna aún del todo el significado de un nombre como ‘(ἐФ(ε)’. Sólo se nos da un medio para reconocer siempre un rango de valor si se le designa por un nombre como ‘(ἐФ(ε)’, por medio del cual ya se le puede reconocer como rango de valor. Pero no podemos decidir hasta ahora si un objeto que nos es dado como tal es un rango de valor ni a cuál función pertenece, ni tampoco podemos decidir de manera general si un rango de valor dado tiene una propiedad dada si no sabemos que esta propiedad está asociada con una propiedad de la función pertinente.

Confieso que esta parte del primer párrafo del § 10 suena misteriosa a primera vista. Trataremos de quitarle lo misterioso:

Cuando Frege habla aquí de ‘objetos’ lo que tiene en mente son los objetos que él hasta aquí ha introducido. Y estos son únicamente de dos tipos: valores de verdad y rangos de valor. Valores de verdad son los valores que le corresponden, por ejemplo, a una expresión como ‘__ξ’, y son lo verdadero si ‘ξ’ es lo verdadero, de lo contrario son lo falso. ‘ξ’ entonces puede ser un valor de verdad u otro objeto. Si es otro objeto, desde luego podría ser hasta aquí sólo un rango de valor, o de manera general algún otro objeto que aún no se introduce en estos pasajes preparativos de la conceptografía (Conviene tener en mente esta ambigüedad de la palabra ‘objeto’ en este pasaje entre objetos ya legítimamente introducidos hasta este momento en la conceptografía y la posibilidad de introducir objetos adicionales más adelante). El problema es que, si el objeto se me da como ‘ξ’, no puedo saber si es un valor de verdad o un curso de valor lo que ‘ξ’ aquí indica (o posteriormente algún otro objeto).

¿Por qué es esto un problema? Porque se tiene que determinar el valor de una función como, e.g., ‘ξ = ζ’. Reflexionemos: si ambos signos indican valores de verdad, entonces no hay problema; los valores de verdad que cada signo indica determinan el valor de verdad de la función: si el valor de verdad es el mismo en ambos lados del signo, el valor de verdad de la función será lo verdadero, de lo contrario, lo falso. Igualmente, si uno de los dos signos no indica ningún valor de verdad, el valor de verdad – o el significado – de la función estará determinado: siempre será lo falso. Si, por otra parte, lo verdadero resulta ser el rango de valor de la función ‘Ф(ξ)’,  i.e, si ‘Ф(ξ)’ es lo verdadero para todo argumento posible, entonces ‘ἐФ(ε)’ será justamente lo verdadero y también esto determina el valor de verdad de la función ‘ξ = ζ’ si uno de los dos signos es este rango de valor. Análogamente, si ‘Ф(ξ)’ es lo falso para todo argumento posible.

En lo que sigue al pasaje traducido arriba, Frege argumentará que basta con determinar esta cuestión para la función ‘ξ = ζ’, para presentar a continuación los detalles de la breve reflexión que acabamos de hacer.

# 0004

En el parágrafo 3, Frege explica:

Yo uso las palabras

“la función Ф(ξ) tiene el mismo rango de valor que la función Ψ(ξ)” universalmente como teniendo el mismo significado que las palabras “las funciones Ф(ξ) y Ψ(ξ) tienen siempre el mismo valor para el mismo argumento.”

En la fórmula mencionada en mi mensaje anterior (# 0003):

la parte a la derecha del signo de identidad central expresa la universalidad de una identidad de acuerdo a la segunda de las formulaciones del parágrafo 3 que acabo de citar. Para decir “... para el mismo argumento [sea éste el que sea]...” sirve la letra alemana a encima de la cavidad. La línea horizontal simple sirve para señalar que, por ejemplo, la expresión ‘__ξ’ significa lo verdadero, siempre que ‘ξ’ signifique lo verdadero, en todos los demás casos significa lo falso (i.e., si 'ξ' significa lo falso o ningún valor de verdad, e.g. '__2' significaría lo falso, si '2' ya tuviera  un significado en el metalenguaje formal).

Será importante recordar que en ningún caso las universalidades de identidad se refieren a una identidad de sentido (tal como Frege usa este término en su distinción entre ‘sentido’ y ‘significado’), sino únicamente marcan la identidad de significado.

La parte de la fórmula a la izquierda del signo de identidad central expresa la primera de las dos formulaciones citadas del § 3, de lo que podemos desprender que

ha de corresponder a las palabras ‘rango de valor de la función Ф(ξ)’. O sea, que ‘épsilon con spiritus asper’ seguido por un signo de función seguido por épsilon entre paréntesis marca el rango de valor que corresponde a la función Ф(ξ).

Evidentemente hay más reglas y estipulaciones para el uso de estos y otros signos, pero me parece que con estos comentarios podemos iniciar nuestras reflexiones sobre lo que Frege dice en el § 10 de GGAI.

# 0003

En cuanto a los problemas lógicos y filosóficos que la construcción de sistema de Frege en términos generales tiene que enfrentar, será difícil expresar la situación con más claridad de lo que Wittgenstein lo hace en Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas, VII/16, quizá en particular el párrafo que reclama que los problemas matemáticos de los así llamados fundamentos no dan para nosotros más soporte a las matemáticas que la roca pintada al castillo  pintado. Pero también estoy convencido que esta observación no resta interés en absoluto a comprender cómo Frege pensó construir su sistema y cuáles eran sus motivos filosóficos para proceder tal como lo hizo.

* * *

Lo que pienso hacer es simplemente traducir el § 10 de GGAI (hasta donde sé no existe una versión en español del libro) e insertar ocasionales comentarios para recordar otros pasajes del libro y a veces de otros textos directamente relacionados con el asunto. Pienso que esto basta para dejar perfectamente claro qué es lo que Frege dice en este parágrafo. No puedo explicar, evidentemente, todo lo que Frege dice y hace en los 9 parágrafos anteriores. En este sentido tendré que asumir un conocimiento general de la conceptografía y del logicismo de Frege. Trataré, sin embargo, de contestar preguntas concretas conforme se presenten.

Como se sabe, en los primeros 52 parágrafos de GGAI Frege establece en metalenguaje los elementos y las reglas que constituyen su conceptografía, la cual difiere en algunos aspectos de la primera versión presentada en 1879 bajo este título. Como metalenguaje funciona en primer lugar el alemán, y también un lenguaje simbólico que representa los signos que posteriormente se usarán en la construcción sistemática de los fundamentos de la aritmética. Una manera de distinguir este último metalenguaje de la conceptografía, propiamente hablando, es el uso de consonantes griegos para marcar el lugar de argumentos y para funciones, donde en la conceptografía se usan letras romanas.

Probablemente lo más sobresaliente (y que constituye el cambio más importante respecto a su visión anterior de la conceptografía) que Frege ha hecho en los parágrafos que preceden al § 10 es introducir la noción de rango de valor mediante una fórmula que apela a la identidad entre rangos de valor idénticos y la universalidad de una identidad. La fórmula en metalenguaje se vería así:

En lo que sigue, el texto en negritas es la traducción de los pasajes en cuestión del libro de Frege, mis comentarios vienen en letra normal.